The imaginary zeros of a mixed Bessel function

In the present work we study the existence and monotonicity properties of the imaginary zeros of the mixed Bessel functionM_v(z)=(z²+)J_v(z)+zJ_v(z). Such a function includes as particular cases the functionsJ_v(z)(==0), J_v(z)(=–v²,=1)x andH_v(z)=J_v(z)+zJ_v(z), whereJ_v(z) is the Bessel function of the first kind and of orderv>–1 andJ_v(z), J_v(z) are the first two derivatives ofJ_v(z). Upper and lower bounds found for the imaginary zeros of the functionsJ_v(z), J_v(z) andH_v(z) improve previously known bounds.

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Zusammenfassung Dieser Artikel betrifft die Existenz und Monotonie von Eigenschaften imaginärer Nullen der gemischten BesselfunktionM_v(z)=(z²+)J_v(z)+zJ_v(z). Eine solche Funktion enthält als Spezialfall die FunktionenJ_v(z)(==0), J_v(z)(=–v²,=1) undH_v(z)=J_v(z)+zJ_v(z), woJ_v(z)die Besselfunktion von erster Art und Ordnungv>–1 andJ_v(z), J_v(z) sind die erste und zweite Ableitung vonJ_v(z). Untere und obere Schranken, die für die imaginären Nullen der FunktionenJ_v(z), J_v(z) undH_v(z) gefunden wurden, verbessern früher bekannte Resultate.