The elastic sphere under arbitrary concentrated surface loads

The elastostatic problem of a sphere subject to a concentrated surface load of arbitrary direction which is equilibrated in a very simple manner by a distribution of surface tractions is solved. Particular attention is placed in the analysis of the singularity at the point of application of the concentrated load.The solution obtained provides a means for reducing problems pertaining to a sphere under arbitrary concentrated and distributed loads to a regular second boundary-value problem for the sphere. For illustration the problem of a sphere acted by two equal, opposite and collinear loads applied at two arbitrary surface points is treated.The paper also contains an exposition and an essential extension of an integration scheme developed by Almansi. Thus, an explicit integral representation of the displacements in an elastic sphere in terms of a vector valued harmonic potential which coincides on the surface with the tractions is obtained.

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Résumé On présente la résolution du problème élastostatique d'une sphère soumise en surface à une charge ponctuelle de direction arbitraire équilibrée par une distribution trés simple de contraintes superficielles. On s'attache plus spécialement à l'analyse de la singularité au point d'application de la charge ponctuelle.La solution obtenue permet de réduire les problèmes d'une sphère soumise de manière quelconque à des charges ponctuelles et réparties, à un problème avec conditions aux limites régulières. A titre d'exemple, on traite le problème d'une sphère soumise à deux forces ponctuelles, co linéaires, égales et de sens opposé, appliquées en deux points arbitraires de la surface.L'article contient également une exposition et une extension d'un schéma d'intégration développé par Almansi. On obtient ainsi une représentation explicite, sous forme d'intégrale, des déplacements dans une sphère élastique, en termes de potentiel vecteur qui coïncide, à la surface, avec le champ de contraintes.