一道联赛题结论在空间的推广

文[1]对一道2004年联赛题的结论进行了推广,其实这个结论还可以推广到三维空间.引理[2]设O点在四面体ABCD内部用VA,VB,VC,VD分别表示体积VO-BCD VO-ACD,VO-ABD,VO-ABC,则VA.OA+VB.OB+VC.OC+VD.OD=0.空间上的推广设O点在四面体ABCD内部,且有mOA+nOB+pOC+qOD=0(其中m,n,p,q均是正数),则有VA∶VB∶VC∶VD=m∶n∶p∶q.证明由条件mOA+nOB+pOC+qOD=0,得OD=-mqOA-nqOB-pqOC,由引理得OD=-VAVDOA-VBVDOB-VCVDOC,而OA,OB,OC不共面,故有m q=VAVD,nq=VBVD,pq=VCVD VDVABCD=VDVA+VB+VC+VD=VDm…