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| 数论问题 | |
| 引用本文： | 余红兵.数论问题[J].数学通讯,2004(13). |
| 作者姓名： | 余红兵 |
| 摘 要： | (续上期 )例 9 证明 :对任意自然数n ,数 ( 3+5) n]+ 1被 2 n 整除 .这里 x]表示实数x的整数部分 .证 论证的要点是给予 ( 3+ 5) n]的一个不同的 (但适用的 )表示 .为此 ,我们考虑数α =3+ 5的共轭数 β =3- 5,它们由整系数二次方程x2 - 6x + 4=0相关联 :是该方程的两个根 .记un=αn+ βn.我们现在易于导出 {un}(n≥ 1 )的递推公式 :以αn 乘α2 - 6α + 4=0 ,及 βn 乘 β2 - 6 β+ 4=0 ,并将结果相加 ,即得un + 2 =6un + 1- 4un,n≥ 1 ( 5)因u1=6 ,u2 =2 8都是整数 ,故由 ( 5)及归纳法知所有的un 都是整数 .注意 0 <3- 5<1 .故 0 <β… |
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