On theA-integral representation of the Hilbert transform and conjugate function

Рассматривается воп рос о представлении о ператора Гильберта и сопряжен ной функцииA-интегралом. Доказывается следую щая Теорема. Если ? - такая неотрицательная фун кция на [0, ∞), что х^?1?(х) монотонно не убывает на (0, ∞) и для н екоторого Н> 0 (mathop smallint limits_H^infty varphi ^{ - 1} (x)dx< infty) , а определенная на R функ ция fε?∩?(?), то почти всюду оператор Гильберта $$tilde f(x) = - frac{1}{pi }(A)mathop smallint limits_0^infty frac{{f(x + t) - f(x - t)}}{t}dt$$ . Из данной теоремы сле дует, что для функций и з ?^p, 1<р<#x221E;, оператор Гильберта и сопряженная функция представляютсяA-инте гралом. Что для функций из ?¹ п одобное утверждение неверно, показывает следующа я теорема. Теорема.Существует т акая суммируемая на R ф ункция f≧0, что почти всюду $$mathop {lim sup}limits_{n to infty } mathop smallint limits_0^infty left[ {frac{{f(x + t) - f(x - t)}}{t}} right]_n dt = infty$$ .