On the representation of measurable functions by martingales

Пусть (gW, ?,P) - вероятност ное пространство, ?₁??₂?...?? _n ?...,? _n ?? -последовательност ь σ-алгебр и ?_∞ - порожден ная ими минимальная σ-алгебра. В статье указано необ ходимое и достаточно е условие на последовательность σ-алгебр {? _n }, при выполнении кото рого для любой ?_∞-измер имой функцииf(x) существует ряд \(\mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty \varphi _n (x)\) центрированных отн осительно {? _n } функций {? _n } _n=1 ^∞ такой, что

1. \(\mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty \varphi _n (x)\) абсолютно почти вс юду сходится кf(x) на множестве {x: ¦f(x)¦<+∞};
2. \(\mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty \varphi _n (x)\) сходится по мере кf(x) на множестве {х: ¦f(х)¦=+∞ }.

Полученные результа ты представляют обоб щения и усиления доказанных ранее теорем Р. Ганди и Г. Ламба о пре дставлении ?_∞-измерим ых функций мартингалам и {? _n ,? _n } (см. 1] и 2]).