Asymptotic expansion of the solution of a boundary value problem

We study, in the rectangle Ω=(0,a)× (0,b), the Dirichlet boundary value problem for the elliptic partial differential equation, where 0<ε≪1, Δ is the Laplacian operator, and the functionsp, g, q, andf satisfy certain hypotheses; in particular,p>0,q≤0. We construct a formal asymptotic expansion of the solutionu of this problem for small ε. This expansion contains the solution of the reduced equation and boundary layer functions. The parabolic boundary layer functions satisfy a parabolic equation with an unbounded coefficient. We transform the parabolic equation into a heat equation to develop properties of the parabolic boundary layer. Estimates for the remainder in the expansion are established that are of the order of magnitude of powers of ε.

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Sunto  Noi studiamo nel rettangolo Ω=(0,a)×(0,b), il problema di Dirichlet con condizioni al contorno per l’equazione differenziale alle derivate parziali dove 0<ε≪1, Δ è l’operatore laplaciano, e le funzionip, g, q, ef soddisfano certe ipotesi, in particolore,p>0,q≤0. Costruiamo un’espansione asintotica formale della soluzioneu di questo problema per piccoli ε. Questa espansione contiene la soluzione della equazione ridotta e la funzione di strato limite. Le funzioni dello strato limite soddisfano l’equazione parabolica con un coefficiente non limitato. Trasformiamo l’equazione parabolica in un’equazione del calore per svilluppare proprietà dello strato limite parabolico. è stato stabilito che le stime per il resto nell’espansione asintotica sono dell’ordine di grandezza delle potenze di ε.