两道试题的统一研究

在《中等数学》数学奥林匹克问题中有如下一题:1.对所有的正实数a,b证明:a3a b b3b a≤1.无独有偶在《数学通报》数学问题中也有一题类似于上题:2.对所有的正实数a,b,证明:aa 3b bb 3a≥1事实上,我们将题2所证的不等式两边同时乘以3有:a13a b b13b a≥3.将此式与题1的结论进行比较,发现:对于正数λ的不同取值,aλa b bλb a的取值也相应的发生变化,为此我们来讨论该式的取值范围.将上式进行变形为:1λ ba 1λ ab,令x=ab,y=ba,则x>0,y>0,且xy=1,所以只要讨论1λ x 1λ y的取值范围,其中x,y∈R ,λ>0,xy=1.将上式平方有:(1λ x 1λ y)2=1λ x…