与一类算术函数关联的矩阵的行列式的下界 |
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引用本文: | 洪绍方.与一类算术函数关联的矩阵的行列式的下界[J].数学年刊A辑,2000,21(3):377-382. |
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作者姓名: | 洪绍方 |
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作者单位: | 中国科技大学数学系, 合肥230026 |
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基金项目: | 中国博士后科学基金资助的项目 |
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摘 要: | 设f为一个算术函数,S={x 1,…,x n}为一个n元正整数集合.称S为gcd-封闭的, 如果对于任意1 i,j n,均有(x i,x j)∈S.以 ={y 1,…,y m}表示包含S的最小gcd-封闭的正整数集合. 设(f(x i,x j))表示一个n×n矩阵, 其(i,j)项为f在x i与x j的最大公因子(x i,x j)处的值. 设(fx i,x j])表示一个n×n矩阵, 其(i,j)项为f在x i与x j的最小公倍数x i.xj]处的值. 本文证明了: (i) 如果f∈C s ={f:(f*μ)(d)>0, x∈S,d|x},这里f*μ表示f与μ的Dirichlet乘积,μ表示M bius函数,那么 并且(1)取等号当且仅当S=;(ii)如果f为乘法函数,并且 ∈Cs,那么 并且(2)取等号当且仅当S= .不等式(1)和(2)分别改进了Bourque与Ligh在1993年和1995年所得到的结果.
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关 键 词: | 算术函数 gcd-闭包 Binet-Cauchy公式 |
文章编号: | 1000-8314(2000)03-0377-06 |
修稿时间: | 1997年6月2日 |
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