分析力学中正则方程的简化

本文讨论以下的问题。在分析力学中,如果由于广义动量的定义 pi=L/qi i=1,2,…N(q为广义坐标,L为拉格伦日函数,q≡dq/dt),(p,q)间有某些关系 φ_α(p…,q…)=0,α=1,2,…m我们问:能否寻到一些新变数Q,P,使它们一方面依然适合正则方程,而另一方面成为完全独立的变数,不受上式的限制?我们证明,当_1,_2,…间的泊松括号都等于零时,这是可能的。我们又证明:如果 φ_μ(p,…q…)=O μ=1,2,…n为运动积分(由于起始条件的适当选择而构成的运动积分也考虑在内),而它们舆间的泊松括号,它们彼此间的泊松括号都等于零,那末我们可以选择新变数Q,P,使它们同时不受φ_μ=0的限制。新变数Q的数目等于N-m-n。 应用这个理论至麦克斯韦场及矢量介子场并没有带来新的结果。我们指出:在电磁场正则方程中消去纵场后的结果正可以应用这个理论至麦克斯韦场而获得。