求矩阵秩的一个新算法

为了求出矩阵A的秩和它的行空间的一个基,学生总是被告知使用行初等变换方法把矩阵A变成阶梯形矩阵。于是该阶梯形矩阵的非零行的个数即为矩阵A的秩,而该阶梯形矩阵的各行则构成矩阵A的行空间的一个基。上述方法肯定是正确的,但在实践中,相应的运算却可能并不灵便。例如,对于一个整数矩阵A,有两个标准步骤来进行第一步,我们利用(基于除法的)行初等变换把矩阵A的第一列元素除第一项以外全部消成零。第二步,首先我们把第一行各元素分别除以该左手第一项a_(11)(假定A_(11)≠0)然后从除第一行以外的其余各行中减去现在新的第一行元素的适当倍数。无论那一种情况,下一步运算要考虑的对象均是(m-1)×(n-1)阶矩阵。因此,再重复上述步骤。