一类三角比求值问题探究

笔者利用复数解决了一类三角比乘积的求值问题.一、问题探究求值:sinπ/nsin 2π/n…sin(n-1)π/n,n∈N*.解:设zk=cos2kπ/n+isin2kπ/n,k=1,2,3,…,n-1,n∈N*.由复数的开方公式易知方程zn=1的n个根分别为1,z1,z2,…,zn-1,因为zn-1=(z-1)(zn-1+zn-2+…+1),所以方程zn-1+zn-2+…+1=0的n-1个根为z1,z2,…,zn-1,所以式子zn-1+ zn-2+…+1=(z-z1)(z-z2)…(z-zn-1)(*)对任意复数z均成立.