Abstract: | Summary Let A=
be an elliptic differential operator inR
u, If, for |α|=l, the coefficients aα are ? nearly constant ? and, for |α|<l, they tend to zero at infinity with a certain swiftness, it is proved that A is a
Fredholm operator with indexx(A)=0 between a suitable weighted Sobolev space M contained in Wl,p (R n) and Lp(R
n, (1+|x|)lp)==
. It is shown, by counterexamples, that the above result, holds only if n>l, p>n/(n−l) and that isomorphism results can be
obtained, in general only if the coefficients aα(|α|<l) are assumed to be ? sufficiently small ? also on compact sets. Then a Sturm-Liouville type problem is studied and
a class of negative and falling off at infinity potentials V(x) is constructed in such a way that the Schr?dinger operator
H=−Δ+V(x), in L2(R
n), has a zero eigenvalue.
Sunto Sia
un operatore differenziale ellittico inR
n. Se, per |α|=l, i coefficienti aα sono ? quasi costanti ? e, per |α|<l, tendono a zero all'infinito con una certa rapidità, si dimostra che A è un operatore
di Fredholm con indiceX(A)=0 tra un opportuno spazio di Sobolev con peso M contenuto in Wl,p(R
n) ed Lp(R
n, (1+|x|)lp)==
. Si prova, mediante controesempi, che tale risultato è valido solo se n>l, p>n/(n−l) e che teoremi di isomorfismo si possono
ottenere, in generale, solo se si assume che i coefficienti aα (|α|<l) sono ? sufficientemente piccoli ? anche su insiemi compatti. Si studia quindi un problema del tipo Sturm-Liouville
e si costruisce una classe di potenziali V(x) negativi e convergenti a zero all'infinito, tali che l'operatore di Schr?dinger
H=−δ+V(x) in L2(R
n) abbia un autovalore nullo.
Entrata in Redazione il 10 agosto 1977.
Work supported by C.N.R. (G.N.A.F.A.). |