Propagation of periodic long waves

Summary A method is developed for the computation of the steady solution of the shallow water equations with quasi periodic boundary conditions. Because of dissipation the influence of the initial conditions becomes negligible with increasing time and the solution finally depends on the boundary conditions. The unknowns variables (velocity and surface elevation) and the boundary conditions are developed in power series of a small perturbation parameter. The problem is then transformed in a sequence of linear problems which have the same associated homogeneous problem. By separating the time and space variables in the homogeneous problem we obtain an homogeneous elliptic problem of which we compute the first eigenvalues and eigensolutions. These are related to the characteristic oscillations of the water in the basin. The solution of each linear problem is then obtained as an eigensolution expansion with time dependent coefficients. These coefficients are solutions of ordinary differential equations which can be solved directly without proceeding step by step in time. In this way we are reduced to a stationary problem i.e. the determination of the eigenvalues and eigensolutions of the elliptic problem and to the computation of several integrals needed for the determination of the time dependent coefficients. A first test of the method has been carried out for a one-dimensional problem i.e. the tidal wave in a canal of finite length and constant depth. In this case the various steps of the procedure outlined above can be performed analitically. The results have been compared with those obtained by a step by step numerical integration of the shallow water equations. The agreement between these sets of results is good for the range of values of the parameters currently used in the applications.

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Sommario Viene presentato un metodo per il calcolo della soluzione a regime delle equazioni delle onde lunghe, dipendente dalle sole condizioni al contorno quasi-periodiche, dopo aver mostrato che l'influenza delle condizioni iniziali diventa col tempo trascurabile a causa del termine di resistenza. Il metodo si basa sullo sviluppo in serie di potenze di un piccolo parametro sia delle incognite (velocità ed elevazioni del pelo libero) sia delle condizioni al contorno al fine di trasformare il problema non lineare in una serie di problemi lineari aventi lo stesso problema omogeneo associato. Con la separazione delle variabili spazio, tempo quest'ultimo problema viene ricondotto ad un problema ellittico omogeneo di cui si calcolano i primi autovalori ed autosoluzioni. Da ultimo la soluzione di ciascun problema lineare è ottenuta come sviluppo in serie di autosoluzioni a coefficienti dipendenti dal tempo: questi si ricavano risolvendo analiticamente delle equazioni differenziali ordinarie. Si elimina cosi la necessità di procedere passo passo nel tempo analogamente ai classici metodi armonici di soluzione di sistemi lineari. Riassumendo, l'applicazione del metodo riconduce alla soluzione di un problema stazionario (determinazione di autovalori ed autosoluzione del problema ellittico) e quindi al calcolo dei vari integrali necessari per la determinazione dei coefficienti temporali. Il metodo è stato provato nel caso semplice della propagazione di onde di marea in un canale di lunghezza finita e sezione costante. Per questo esempio i vari passi di calcolo possono essere svolti analiticamente. I risultati sono stati confrontati con quelli ottenuti dalla integrazione numerica delle equazioni col metodo delle caratteristiche, ottenendo un buon accordo.

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Work sponsored by the CNR (National Research Council) in the framework of Project ?Conservazione del suolo? Subproject ?Dinamica dei Litorali? Publ. n° 46.