Cauchy多边形数定理的一个简短证明 |
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引用本文: | 雷艳萍. Cauchy多边形数定理的一个简短证明[J]. 数学通报, 2013, 52(2) |
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作者姓名: | 雷艳萍 |
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作者单位: | 1. 美国罗格斯大学数学系 2. 杭州育才中学 310014 |
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摘 要: | 本文对下述事实给出一个简单的证明:每个自然数是m+2个m+2边形数之和.设m≥1,一个m+2边形数是形如Pm(k)=m/2(k2-k)+k,(k=0,1,2,…)的数.Fermat[3]断言:每一个自然数是m+2个m+2边形数之和.对于m=2,Lagrange[5]证明了每一个自然数是4个平方数P2(k)=k2之和.对于m=1,Gauss [4]证明了每一个自然数是3个三角数P1(k)=1/2(k2+k)之和,或等价的,每一个满足n≡3(mod 8)的正整数n都是3个奇数平方之和,Cauchy[1]对所有的m≥3证明了Fermat的断言,Legendre[6]进一步细化和推广了这一结果.对于m≥3且n≤120m,Pepin [8]给出了将n写成m+2个m+2边形数之和的显示表达的表,其中至少有m-2个取值于0或1.
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A Short Proof of Cauchy's Polygonal Number Theorem |
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Abstract: | |
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