Toward a viscoelastic modelling of the injection molding of polymers

Summary By using theLeonov viscoelastic constitutive equation, an idealized problem has been solved for onedimensional, unsteady, non-isothermal flow of polymer between two parallel plates and the subsequent non-isothermal relaxation following cessation of flow. Numerical results are presented for the time dependence of the pressure gradient, the gapwise distribution of linear velocity, shear rate, shear stress and normalstress differences, together with the components of birefringence in different planes. Comparison of the present predictions for the pressure gradient with results based upon an inelastic model indicate close agreement whereas the corresponding predictions for normal-stress differences are found to be markedly different from those for the inelastic case.The model is applied to the injection-molding process which is treated in terms of a filling and a cooling stage. Final results are given in terms of the distribution of residual stresses and associated birefringences in the molded part, as influenced by the rheological and thermal properties of the polymer and the processing conditions. The theoretical predictions are compared with birefringence measurements in the literature. Reasonable agreement is obtained for the position and value of maximum birefringence in the 1–2 plane although the birefringence predictions in the 1–3 and 2–3 planes are found to be markedly smaller than the measured values. The present theory indicates that, for a given polymer, the main factors affecting residual stresses and birefringence are melt temperature and flow rate, both of which should be held at the highest permissible levels.

---

Zusammenfassung Das idealisierte Problem einer eindimensionalen, instationären, nicht-isothermen Strömung eines Polymeren zwischen zwei parallelen Platten sowie das der nichtisothermen Relaxation, die auf das Anhalten dieser Strömung folgt, wird mit Hilfe der viskoelastischen Stoffgleichung vonLeonov gelöst. Numerische Ergebnisse werden für die Zeitabhängigkeit der folgenden Größen gegeben: des Druckgradienten, der Verteilung der linearen Geschwindigkeit, der Schergeschwindigkeit, der Schubspannung, der Normalspannungsdifferenzen sowie der Komponenten der Doppelbrechung in verschiedenen Ebenen. Die hier vorliegenden Voraussagen sind bezüglich des Druckgradienten in guter Ubereinstimmung mit denen, die auf dem inelastischen Modell beruhen, unterscheiden sich von diesen aber wesentlich bezüglich der Normalspannungsdifferenzen.Das Modell wird auf den Spritzgußprozeß angewandt. Dieser wird als zweistufiger Prozeß, bestehend aus einer Abfüll- und einer Kühlstufe, behandelt. Numerische Ergebnisse werden für die Verteilung der Restspannungen und der assoziierten Doppelbrechung im Formteil gegeben, so wie sie durch die rheologischen und thermischen Eigenschaften des Polymeren und der Prozeßbedingungen beeinflußt werden. Die theoretischen Voraussagen für die Doppelbrechung werden mit Meßergebnissen aus der Literatur verglichen. Gute Übereinstimmung wird für die Lage und den Wert der maximalen Doppelbrechung in der 1–2 Ebene erzielt, während die Voraussagen für die Werte der Doppelbrechung in den 1–3 und 2–3 Ebenen wesentlich kleiner als die gemessenen Werte ausfallen. Die vorliegende Theorie zeigt an, daß für ein gegebenes Polymer die Schmelzentemperatur und die Einspritzgeschwindigkeit als Hauptfaktoren zu werten sind, die die Restspannungen und die Doppelbrechung beeinflussen. Diese sollen auf dem höchstzulässigen Stand gehalten werden.

---

Nomenclature a _T temperature-shift factor - b thickness of channel or mold - C stress-optical coefficient - C _ij,k components of elastic strain tensor ink ^th relaxation mode - G storage modulus - G loss modulus - L length of channel or mold - n ₂₂ – n₃₃ birefringence in 2–3 plane - n ₁₁ – n₃₃ birefringence in 1–3 plane - n ₁₁ – n₃₃ gapwise-averaged birefringence in 1–3 plane - N number of modes retained in Leonov model, see eq. 9] - N ₁ first normal-stress difference, ₁₁ – ₂₂ - N ₂ second normal-stress difference, ₂₂ – ₃₃ - N ₃ normal-stress difference, ₁₁ – ₃₃ - p isotropic pressure - s dimensionless rheological parameter (0 <s < 1) - t time - t _fill filling time - T temperature - T _g glass-transition temperature - T ₀ inlet melt temperature - T _ref reference temperature, see eq. 21] - T _w mold temperature or channel wall temperature - u velocity inx direction - U average velocity inx direction - W width of channel or mold - x coordinate in flow direction - y coordinate in gapwise direction - z coordinate in width direction - thermal diffusivity of polymer melt - strain rate - , dimensionless strain rate - n birefringence in 1–2 plane - p pressure loss in channel or mold - apparent viscosity - _k viscosity ink ^th relaxation mode - ₀ zero-shear-rate viscosity - _k relaxation time ink ^th relaxation mode - = —p/x - µ shear modulus - µ _k shear modulus ink ^th relaxation mode - _ij components of deviatoric stress tensor - frequency With 14 figures and 2 tables