Lagrange and the Solution of Numerical Equations

In 1798 J.-L. Lagrange published an extensive book on the solution of numerical equations. Lagrange had developed four versions of a general systematic algorithm for detecting, isolating, and approximating, with arbitrary precision, all real and complex roots of a polynomial equation with real coefficients. In contrast to Newton's method, Lagrange's algorithm is guaranteed to converge. Some of his powerful ideas and techniques foreshadowed methods developed much later in geometry and abstract algebra. For instance, in order to make a more efficient algorithm for isolating roots, Lagrange essentially worked in a quotient ring of a polynomial ring. And to accelerate both the convergence and calculation of his continued fraction expansions of the roots, he employed nonsimple continued fractions and Möbius transformations. Copyright 2001 Academic Press.En 1798 J.-L. Lagrange publié un important traité sur la résolution d'équations numériques. Dans ce traité, Lagrange développe quatre versions d'un algorithme général qui systématiquement détecte, isole, et approxime, avec toute la précision voulue, toutes les racines réelles et complexes d'une équation polynomiale à coefficients réels. Contrairement à la méthode de Newton, l'algorithme de Lagrange converge toujours. Certaines de ses idées et techniques les plus brillantes ont ouvert la voie à des méthodes en géométrie et en algèbre développées beaucoup plus tard. Par exemple, pour augmenter l'efficacité de son algorithme afin d'isoler les racines, Lagrange travaille essentiellement dans un anneau quotient d'un anneau de polynômes. De plus, dans le but d'accélérer à la fois la convergence et les calculs de l'expansion des racines via des fractions continues, il emploie des fractions continues non-simples ainsi que des transformations de Möbius. Copyright 2001 Academic Press.1798 veröffentlichte J.-L. Lagrange ein ausführliches Buch über die Lösung von numerischen Gleichungen. Lagrange entwickelte vier Versionen eines allgemeinen systematischen Algorithmus für die Identifizierung, Isolation, und beliebig genaue Approximation, aller reellen und imaginären Wurzeln einer Polynomgleichung mit reellen Koeffizienten. Im Gegensatz zu Newtons Methode konvergiert Lagranges Algorithmus immer. Einige seiner machtvollen Ideen und Techniken waren Vorläufer von Methoden in der Geometrie und Algebra die erst viel später entwickelt wurden. Zum Beispiel arbeitete Lagrange im Grunde in einem Quotientenring eines Polynomringes um seinen Algorithmus für die Isolation von Wurzeln effizienter zu machen. Und um sowohl die Konvergenz wie auch die Berechnung seiner Kettenbruchexpansion der Wurzeln zu beschleunigen benützte er nichteinfache Kettenbrüche und Möbiustransformationen. Copyright 2001 Academic Press.MSC subject classifications: 01A50; 65-03; 65H05; 65B66; 00A30.