A note on stochastic order of probability measures and an application to Markov processes

Summary In this paper we prove under a general condition on the relation between metric and partial order of the underlying space an equivalence to stochastic order of probability measures. Secondly we show that the set of all probability measures which are placed stochastically between two fixed probability measures is compact in the topology of weak convergence. Using weak-convergence arguments we apply these two theorems to Markov processes, getting results on bounds and existence of their invariant probability measures. Finally, we give a transience criterion for some semi-Markov processes.

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Zusammenfassung Zur stochastischen Vergleichbarkeit von Wahrscheinlichkeitsmaßen wird unter einer allgemeinen Voraussetzung an die Beziehung zwischen Metrik und Halbordnung des zugrundeliegenden Raumes eine äquivalente Formulierung bewiesen. Außerdem wird gezeigt, daß die Menge aller Wahrscheinlichkeitsmaße, die bezüglich der stochastischen Ordnung zwischen zwei festen Wahrscheinlichkeitsmaßen liegen, kompakt in der Topologie der schwachen Konvergenz ist. Beide Ergebnisse liefern mittels schwacher Konvergenz Schranken und Existenz von invarianten Wahrscheinlichkeitsmaßen Markoffscher Prozesse. Eine Anwendung, die ein Transienzkriterium für gewisse semi-Markoffsche Prozesse ergibt, schließt sich an.