有限秩的幂零群的自同构(I)

研究了有限秩的幂零群的自同构, 证明了 \qquad {\heiti定理}\quad设幂零群~$G=KP$, 其中~$P$是有限秩的幂零~$p$-\!群, ~$K$ 是~$G$\,的有限秩的~$p^\prime$-\!自由的正规子群, ~$p$\, 不属于~$K$\,的谱~$S_p(K)$. 设~$\alpha$ 和~$\beta$ 是~$G$ 的两个~$p$-\!自同构,记~$I:=\langle\left(\alpha\beta(g)\right)\cdot\left(\beta\alpha(g)\right)^{-1}\, |\, g\in G \rangle, $ 则 \qquad (i) 当~$I$\, 是有限循环群时, $\alpha$ 和~$\beta$生成一个有限~$p$-\!群; \qquad 在下列2种情形下, ~$\alpha$ 和~$\beta$生成一个可解的剩余有限~$p$-\!群,它是有限生成的无挠幂零群被有限~$p$-\!群的扩张. \qquad (ii) 当~$I=Z_{p^{\infty}}$ 时; \qquad (iii) 当~$I=Z_{p^{m}}\oplus Z_{p^{\infty}}$ 时; \qquad 在下列4种情形下, $\alpha$ 和~$\beta$也生成一个可解的剩余有限~$p$-\!群, 它的幂零长度至多是~$3$. \qquad (iv) 当~$I$\, 是无挠的局部循环群时; \qquad (v) 当~$I$ 有子群列~$1< J< I, $其商因子分别为有限循环群、无挠的局部循环群时; \qquad (vi) 当~$I=Z_{p^{\infty}}\times J, $ 其中~$J$\,为无挠的局部循环群时; \qquad (vii) 当~$I$ 有正规列~$1< I_1研究了有限秩的幂零群的自同构, 证明了 \qquad {\heiti定理}\quad设幂零群~$G=KP$, 其中~$P$是有限秩的幂零~$p$-\!群, ~$K$ 是~$G$\,的有限秩的~$p^\prime$-\!自由的正规子群, ~$p$\, 不属于~$K$\,的谱~$S_p(K)$. 设~$\alpha$ 和~$\beta$ 是~$G$ 的两个~$p$-\!自同构,记~$I:=\langle\left(\alpha\beta(g)\right)\cdot\left(\beta\alpha(g)\right)^{-1}\, |\, g\in G \rangle, $ 则 \qquad (i) 当~$I$\, 是有限循环群时, $\alpha$ 和~$\beta$生成一个有限~$p$-\!群; \qquad 在下列2种情形下, ~$\alpha$ 和~$\beta$生成一个可解的剩余有限~$p$-\!群,它是有限生成的无挠幂零群被有限~$p$-\!群的扩张. \qquad (ii) 当~$I=Z_{p^{\infty}}$ 时; \qquad (iii) 当~$I=Z_{p^{m}}\oplus Z_{p^{\infty}}$ 时; \qquad 在下列4种情形下, $\alpha$ 和~$\beta$也生成一个可解的剩余有限~$p$-\!群, 它的幂零长度至多是~$3$. \qquad (iv) 当~$I$\, 是无挠的局部循环群时; \qquad (v) 当~$I$ 有子群列~$1< J< I, $其商因子分别为有限循环群、无挠的局部循环群时; \qquad (vi) 当~$I=Z_{p^{\infty}}\times J, $ 其中~$J$\,为无挠的局部循环群时; \qquad (vii) 当~$I$ 有正规列~$1< I_1研究了有限秩的幂零群的自同构, 证明了 \qquad {\heiti定理}\quad设幂零群~$G=KP$, 其中~$P$是有限秩的幂零~$p$-\!群, ~$K$ 是~$G$\,的有限秩的~$p^\prime$-\!自由的正规子群, ~$p$\, 不属于~$K$\,的谱~$S_p(K)$. 设~$\alpha$ 和~$\beta$ 是~$G$ 的两个~$p$-\!自同构,记~$I:=\langle\left(\alpha\beta(g)\right)\cdot\left(\beta\alpha(g)\right)^{-1}\, |\, g\in G \rangle, $ 则 \qquad (i) 当~$I$\, 是有限循环群时, $\alpha$ 和~$\beta$生成一个有限~$p$-\!群; \qquad 在下列2种情形下, ~$\alpha$ 和~$\beta$生成一个可解的剩余有限~$p$-\!群,它是有限生成的无挠幂零群被有限~$p$-\!群的扩张. \qquad (ii) 当~$I=Z_{p^{\infty}}$ 时; \qquad (iii) 当~$I=Z_{p^{m}}\oplus Z_{p^{\infty}}$ 时; \qquad 在下列4种情形下, $\alpha$ 和~$\beta$也生成一个可解的剩余有限~$p$-\!群, 它的幂零长度至多是~$3$. \qquad (iv) 当~$I$\, 是无挠的局部循环群时; \qquad (v) 当~$I$ 有子群列~$1< J< I, $其商因子分别为有限循环群、无挠的局部循环群时; \qquad (vi) 当~$I=Z_{p^{\infty}}\times J, $ 其中~$J$\,为无挠的局部循环群时; \qquad (vii) 当~$I$ 有正规列~$1< I_1其商因子分别为有限循环群、拟循环~$p$-\!群、无挠的局部循环群时. \qquad 特别地, 当群~$K$ 是一个~$FC$-\!群时, 在上述后4种情形下,~$\alpha$ 和~$\beta$生成的群也是有限生成的无挠幂零群被有限~$p$-\!群的扩张. \qquad 运用发展出来的方法, 还证明了几类有限秩的幂零群的自同构群的有限生成子群是剩余有限的.