a+b/2≥(ab)~(1/2)≥2/(1/a+1/b)的一个几何证明 |
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引用本文: | 特古斯巴雅尔.a+b/2≥(ab)~(1/2)≥2/(1/a+1/b)的一个几何证明[J].中学数学,1984(10). |
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作者姓名: | 特古斯巴雅尔 |
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作者单位: | 内蒙海拉尔一中 |
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摘 要: | (a+b)/2≥ab~(1/2)2/(1/a+1/b)(a>0,b>0)是平均数不等式——“算术平均最大,几何平均次之,调合平均最小”的最简单的情形。它有许多证法,在此介绍一个几何证法作圆,其圆心为A,从圆外一点O引切交OG,切点为G,OA的连线交圆于B、C两点,引GH⊥OB,垂足为H(如图) 令 OC=a,OB=b,则 OA=OC+BC/2=OC+(OB-OC)/2 =(OC+OB)/2=(A+B)/2; ∵ OG~2=OC·OB(切割线定理) ∴ OG=(OC·OB)~(1/2)=ab(1/2); 又 OG~2=OH·OA(射影定理) ∴OH=OG~2/OA=ab/((a+b)/2)=2/(1/a+1/b) 显然,在Rt△OGA中,OA>OG,即(a+b)/2>ab~(1/2);在Rt△OHG中,OG>OH,即ab~(1/2)
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