一个三角恒等式的简证

文 [1]中证明了一个恒等式 :若α + β +γ =nπ(n∈Z) ,则tanαtan(β -γ) +tanβtan(γ -α) +tanγtan(α - β) =-tanαtanβtanγtan(α - β)tan(β -γ)tan(γ -α) ( ) .其证明太繁 ,下面笔者给出一个自然简单证明以供参考 .同时将看到上式中条件α+ β +γ =nπ是多余的 .证明　由正切和差公式易知 :tanα -tanβ =tan(α - β) (1+tanαtanβ) ,tanα +tanβ =tan(α + β)(1-tanαtanβ) .当α + β +γ =0时 ,tan(α + β) =-tanγ ,则tanα +tanβ +tanγ =tanαtanβtanγ .∵ (α - β) + (β -γ) + (γ -α) =0 ,∴tan(…