Effects of longitudinal heat conduction of a vertical thin plate in a natural convective cooling process

This paper analyzes the cooling process of a vertical thin plate caused by a free convective flow, taking into account the effects of both longitudinal and transversal heat conduction in the plate. Due to the finite thermal conductivity of the plate, a longitudinal temperature gradient arises within it, which prevents any similarity solution in the boundary layer, changing the mathematical character of the problem from parabolic to elliptic, for large values of the Rayleigh number. The energy balance equations are reduced to a system of three differential equations with two parameters: the Prandtl number and a non-dimensional plate thermal conductivity . In order to obtain the evolution of the temperature of the plate as a function of time and position, the coupled balance equations are integrated numerically for several values of the parameters, including the cases of very good and poor conducting plates. The results obtained, are compared with an asymptotic analysis based on the multiple scales technique carried out for the case of a very good conducting plate. There is at the beginning a fast transient in non-dimensional time scale of order ^–1 followed by a slow non-dimensional time scale of order unity, which gives the evolution of the cooling process. Good agreement is achieved even for values of the conduction parameter of order unity. The asymptotic solution allows us to give closed form analytical solution for the plate temperature evolution in time and space. The overall thermal energy of the plate decreases faster for smaller values of .

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Einfluß der Längswärmeleitung in einer senkrechten dünnen Platte auf den Kühlvorgang unter natürlicher Konvektion

Zusammenfassung In dieser Arbeit wird die Abkühlung einer senkrechten dünnen Platte unter freier Konvektion untersucht, wobei die Einflüsse von Längs- und Querwärmeleitung in der Platte Berücksichtigung finden. Aufgrund der endlichen Wärmeleitfähigkeit der Platte bildet sich darin ein Temperaturgradient aus, der Ähnlichkeitslösungen für die Grenzschichtströmung nicht zuläßt, da der mathematische Charakter des Problems für große Werte der Rayleigh-Zahl vom parabolischen in den elliptischen Typ übergeht. Die Energiebilanzgleichungen reduzieren sich auf ein System von drei Differentialgleichungen mit zwei Parametern: die Prandtl-Zahl und eine dimensionslose Temperaturleitfähigkeit des Plattenmaterials. Um die Entwicklung des Temperaturfeldes in der Platte als Funktion von Zeit und Ort verfolgen zu können, werden die gekoppelten Bilanzgleichungen für mehrer Werte der Parameter — einschließlich der Fälle sehr guter und sehr schlechter Wärmeleitfähigkeit — numerisch integriert. Die gefundenen Ergebnisse lassen sich für den Fall der sehr gut leitenden Platte mit den Ergebnissen einer asymptotischen Untersuchung vergleichen. Zu Beginn — in einem dimensionslosen Zeitbereich der Größenordnung ^–1 — zeigt sich ein sehr rasches Übergangsverhalten, gefolgt von einem Zeitbereich der Größenordnung Eins, in dem der eigentliche Kühlungsprozeß abläuft. Selbst für Werte des Leitfähigkeitsparameters der Größenordnung Eins zeigt sich gute Übereinstimmung. Die asymptotische Lösung gibt die Entwicklung des Temperaturfeldes in der Platte nach Zeit und Ort in geschlossener Form wieder. Für kleinere Werte des Parameters nimmt die in der Platte gespeicherte Gesamtenergie schneller ab.

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Nomenclature C_p fluid's specific heat - C_w plate specific heat - f non-dimensional stream function introduced in Eq. (12) - g function introduced in Eq. (19) - G₀ non-dimensional heat flux given in Eq. (32) - h plate half-thickness - L plate length - Pr Prandtl number - Ra Rayleigh number defined in Eq. (1) - Re Reynolds number - s non-dimensional strained time introduced in Eq. (17) - t time - t_c characteristic time given byt_c=_wC_wh L Ra^–1/4/ - T temperature - x cartesian lengthwise coordinate - y cartesian transversal coordinate - z non-dimensional transversal coordinate defined in Eq. (3)Greek symbols non-dimensional parameter defined in Eq. (5) - fluid's thermal expansion coefficient - non-dimensional transversal coordinate given in Eq. (11) - _w plate conductivity - fluid's conductivity - non-dimensional transversal coordinate introduced in Eq. (19) - similarity independent variable defined in Eq. (59) - dynamic viscosity - kinematic viscosity - _w plate density - non-dimensional fast time defined in Eq. (17) - non-dimensional time defined in Eq. (3) - _i time adjusted constants - non-dimensional fluid temperature defined in Eq. (11) - _w non-dimensional plate temperature defined in Eq. (3) - x non-dimensional lengthwise coordinate defined in Eq. (3) - non-dimensional self similar independent variable introduced in Eq. (64)