与一类算术函数关联的矩阵的行列式的下界

设f为一个算术函数,S=｛x1,…,xn｝为一个n元正整数集合．称S为gcd-封闭的,如果对于任意1≤i,j≤n,均有（xi,xj）∈S．以S=｛y1,…,ym）表示包含S的最小gcd-封闭的正整数集合．设（f｛xi,xj））表示一个n×n矩阵,其（i,j）项为f在xi与xj的最大公因子（xi,xj）处的值．设（f[xi,xj]）表示一个n×n矩阵,其（i,j）项为f在xi与xj的最小公倍数[xi.xj]处的值．本文证明了。(i)如果f∈Cs=｛f:(f*μ)(d)＞0,x∈S,d|x｝这里f*μ表示f与μ的Dirichlet来积,μ表示Mobius函数,那么并且（1）取等号当且公当S=（ii）如果f为乘法函数,并且1/f∈Ca,那么并且（2）取等号当且仅当S=。不等式（1）和（2）分别改进了Bourque与Ligh在1993年和1995年所得到的结果。＃且（1）＄＄95llttgS－g;（n）toilk＃ffed数,＃if｝。C。,W4并且问取等号当且仅当S一S．不等式（1）和（2）分别改进了Bourque与Li少在1993年和1995年所得到的结果