一类由概率模型得到的恒等式

数学的重要特征之一,就是它的各部分之间能相互渗透并具有内在的联系。而这种有益的数学联系,往往隐蔽于某些表面上似乎是毫不相关的问题之中。人们通过寻求并利用内在联系,能使某些乍看起来似乎很复杂的问题,显得简捷易解并得到准确的结果。 1812年法国数学家拉普拉斯(Laplace)曾给出了古典概型的定义,即用有利场合数m与可能结果总数n之比来计算事件A的概率——P(A)=m/n。可见,人们利用此定义寻求适合于古典概型的随机事件的概率时,关键在于求出m和n。然而求m和n的方法,常常与排列给合有着紧密的联系。因此使我们联想到在概率的一些基本性质后面,是否存在着某些用排列组合表达的恒等关系呢?本文通过三个概率模型的推导,可得出如下一组代数恒等式:(在下列诸式中,规定0_!=1,C_n~0=1,当k<0或m