三角形某些“伴心“的性质

引理 设Ｐ为△ＡＢＣ所在平面上一点，且直线ＡＰ、ＢＰ、ＣＰ分别交直线ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ于点Ｄ、Ｅ、Ｆ，Ｄ′、Ｅ′、Ｆ′分别为Ｄ、Ｅ、Ｆ关于各自所在边的中点的对称点，则 ＡＤ′、ＢＥ′、ＣＦ′必交于一点Ｑ． 由于ＢＤ′＝ＣＤ，ＣＥ′＝ＡＥ，ＡＦ′＝ＢＦ，应用Ｃｅｖａ定理及其逆定理，即可证明． 这样，Ｐ和Ｑ就成为△ＡＢＣ的一对“伴心”．比如，若Ｐ为内心Ｉ，则Ｑ就是伴内心Ｉ′；若Ｐ是△ＡＢＣ的垂心Ｈ，则Ｑ就是伴垂心Ｈ′等等．若将Ｐ叫做“本心”，Ｑ就叫做伴心，相应的△ＤＥＦ叫本心三角形，△Ｄ′Ｅ′Ｆ′则叫做伴…