Grundzüge einer Stabilitätstheorie für elastische Systeme unter nichtkonservativer Belastung

Zusammenfassung Um den Einfluß von nichtkonservativen Kräften zu erfassen, muß die Stabilitätstheorie nichtkonservativer elastischer Systeme auf dem Prinzip der virtuellen Verrückung aufgebaut werden, das von genügender Allgemeinheit ist. Als mathematische Methode steht nach Klärung von Konvergenzfragen das Galerkinsche Verfahren zur Verfügung, das dem ursprünglichen Problem der Stabilität elastischer Systeme das Problem der Stabilität der Bewegung eines mechanischen Systems von unendlich vielen Freiheitsgraden als gleichwertig zuordnet und die Algebraisierung des Stabilitätsproblems erlaubt. Damit wird die Ljapunowsche Theorie anwendbar. Als Wichtigstes ist die Berechtigung der Linearisierung zu untersuchen, wozu der Einfluß der Dämpfung festzustellen ist. Es ergibt sich, daß bei Berücksichtigung von Dämpfung die Stabilität stets asymptotisch ist, so daß die Linesarisierung gerechtfertigt wird. Darüber hinaus zeigt es sich, daß die Struktur der Matrizen und von entscheidender Bedeutung für die Zuständigkeit eines der in Frage kommenden Stabilitätskriterien ist: Ist symmetrisch und eine beliebige positive Diagonalmatrix bzw. schiefsymmetrisch, oder symmetrisierbar bzw. unsymmetrisch und noch gleichzeitig (die Dämpfungskoeffizienten alle gleich), so wirkt in diesen Fällen die Dämpfung günstig, und die Stabilitätskriterien des ungedämpften Vorganges, das statische bzw. das kinetische, bleiben daher hinreichend. Man darf dann auch ohne Dämpfung rechnen. Ist dagegen unsymmetrisch und eine positive Diagonalmatrix mit verschiedenen Elementen, so darf in solch einem Fall nicht ohne Dämpfung gerechnet werden, weil gegenüber dem ungedämpften Vorgang ein Sprung in den Stabilitätsbedingungen auftritt, durch welchen das Ergebnis der Rechnung ohne Dämpfung in Frage gestellt wird.