Global Existence of Small Solutions to a Relativistic Nonlinear Schrödinger Equation

Résumé: On étudie le problème de Cauchy associéà une equation de Schr?dinger non linéaire modélisant une impulsion laser ultra-intense et ultra-courte dans un plasma. Les termes non linéaires nouveaux sont d?s aux effets relativistes et à la force pondéromotrice. Nous prouvons l'existence locale et l'unicité de solutions petites lorsque la dimension de l'espace transverse est égale à 2 ou 3, ainsi que l'existence locale pour des données initiales de taille arbitraire, en dimension un d'espace transverse. We study the Cauchy problem associated to a nonlinear Schr?dinger equation modelling the self-channeling of a high power, ultra-short laser pulse in matter. The new nonlinear terms arise from relativistic effects and from the ponderomotive force. We prove global existence and uniqueness of small solutions in transverse space dimensions 2 and 3, and local existence without any smallness condition in transverse space dimension 1. Received: 2 December 1996 / Accepted: 24 February 1997