Symmetries in trees and parking functions

We investigate a particular symmetry in labeled trees first discovered by Gessel, which can be stated as follows: In the set of rooted labeled trees on n+1 vertices rooted at the smallest vertex, the number of trees with a descents and b+1 leaves equals the number of trees with b descents and a+1 leaves. We present two new ways to prove the symmetry resulting from decompositions of trees, which lead to three different bijections from trees to trees in which leaves and descents are swapped. We also interpret the symmetry in terms of parking functions: the number of parking functions on [n] with a descents and b unfavorable spaces (defined in this paper) equals the number of parking functions on [n] with b descents and a unfavorable spaces. We conclude with a generalization of these results to binary trees.RésuméNous étudions une symétrie particulière dans les arbres étiquetés, découverte par Gessel, qu'on peut énoncer comme suit: Dans l'ensemble des arbres étiquetés pointés avec n+1 sommets, pointés au sommet minimum, le nombre d'arbres avec a descentes et b+1 feuilles égale le nombre d'arbres avec b descentes et a+1 feuilles. Nous présentons deux nouvelles démonstrations de la symétrie, qui resultent des décompositions des arbres; à partir des décompositions, nous obtenons trois bijections des arbres sur les arbres qui échangent les feuilles et les descentes. De plus, nous interprétons la symétrie en termes des “fonctions de stationnement” (parking functions): le nombre des fonctions de stationnement avec a descentes et b positions défavorables (définies dans cette article) égale le nombre de fonctions de stationnement avec b positions défavorable et a descentes. Nous donnons aussi une généralisation de ces resultats aux arbres binaires.