再探旁心三角形的性质

三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点称为三角形的旁心.旁心是三角形的旁切圆的圆心,一个三角形有三个旁心,连接三角形的三个旁心而成的三角形称为旁心三角形.在文[1]的基础上,笔者经过探讨,得到:定理如图1所示,△DEF是△ABC的旁心三角形,三边长分别为d,e、f,且△ABC的三边长分别为a,b、c,△ABC的外接圆、内切圆的半径分别为R、r,则有def=4R/r·abc.     

三角形内心和旁心的一个向量性质及空间拓广

文[1]给出三角形重心的一个向量性质，并向三棱锥进行了拓广．     

四面体内心和旁心的另外两个性质

文[1][3]对三角形内心，旁心的性质进行了研究，文[4]给出了四面体内心与旁心的一个有趣性质，笔者深受启发，探究出空间四面体内心和旁心的另外两个性质，为行文方便，我们把文[4]的两个结论作为本文的两个引理．     

三角形外心的两个性质

文[1]给出了三角形旁心的两个性质,文[2]给出了三角形重心的两个性质．读后深受启发,笔者对三角形的外心也做了类比研究,得到两个性质．     

两个结论的改进及引申

文 [1]所得外心、重心、垂心的结论非常优美 ,而内心和旁心的结论却难以记忆 ,可操作性不够 .下面将文 [1]中关于内心和旁心的结论加以改进 ,再添加关于“中心”的结论 .1　内心定理 1　若O为△ABC所在平面上一点 ,则O为△ABC内心的充要条件为AO·(e1+e2 ) =BO·(e2 +e3) =CO·(e3+e1) =0 (其中e1,e2 ,e3分别为与CA ,AB ,BC同向的单位向量 ) .证　设非零向量a ,b的夹角为θ,则cosθ =a·b|a| |b| =a|a| ·e(其中e为与b同向的单位向量 ) .图 1　定理 1图如图 1,O为△ABC的内心 ∠ 1=∠ 2 ,∠ 3=∠ 4 ,∠ 5 =∠ 6 cos∠ 1=AO|AO…     

也谈三角形五“心”向量形式的充要条件

文 [1 ]给出了三角形五“心”向量形式的充要条件 ,文 [2 ]对内心和旁心的结论加以了改进 .本文先给出三角形所在平面上任意一点的向量形式 ,然后由此推得三角形五“心”向量形式的一组充要条件 ,这组充要条件不仅具有简捷、美观的特点 ,而且还有较强的实用性 .命题　 1若O是△ABC形内 (或周界上 )一点 ,则S△OBC·OA +S△OCA·OB +S△OAB·OC =0 ;2若O是△ABC形外一点且与A位于直线BC的两侧 ,则-S△OBC·OA +S△OCA·OB +S△OAB·OC =0 .图 1　三角形　　　　　　　图 2　三角形　　证　如图 1 ,以O为原点 ,OA所在直线…     

三角形五“心”向量形式的充要条件

利用向量的加法、减法和向量的数量积运算 ,解决几何问题显得简捷、明快 ,思路清晰 .本文就利用向量来研究三角形五“心”(外心、重心、垂心、内心、旁心 )向量形式的充要条件 .1　外心图 1　外心结论 1　若Ｏ是△ＡＢＣ所在平面上一点 ,则Ｏ是△ＡＢＣ的外心的充要条件是ＯＡ2 =ＯＢ2 =ＯＣ2 .证　由向量数量积的运算性质可得 ａ2 =| ａ| 2 ,∴　ＯＡ2 =ＯＢ2 =ＯＣ2 |ＯＡ| 2 =|ＯＢ| 2 =|ＯＣ| 2 |ＯＡ| =|ＯＢ| =|ＯＣ| Ｏ是△ＡＢＣ的外心 .2　重心图 2　重心结论 2　若Ｏ是△ＡＢＣ内一点 ,则Ｏ是△ＡＢＣ重心的充要条件是ＯＡ +ＯＢ…     

内心与旁心的一类向量关系

本文给出关于三角形与四面体内心和旁心的一类优美的向量关系。     

三角形旁心的两个性质

文[1]和文[2]对三角形重心进行了探究，文[3]类比给出了三角形内心的两个性质．受他们的启发，笔者对三角形旁心做了类比探究，发现三角形旁心也有类似的性质．