A Note on the Minimal Volume of Almost Cubic Parallelepipeds

   Abstract. We prove that the best way to reduce the volume of the n -dimensional unit cube by a linear transformation that maps each of the main vertices

Hysteresis at the Lα–Pαβ Phase Transition in Hen Egg Lecithin

Infrared spectroscopy in the OH and CH stretching region of very thin samples of hydrated egg yolk lecithin reveals an hysteresis at the transition between the two liquid crystalline phases L_α (higher temperature phase) and P_αβ . Both of these phases havea lamellar structure with alternating hydrophilic and hydrophobic layers, but they differ as to the state of the interiors of the layers. The hysteresis can be explained in terms of a coupling between the structures and the dynamics of adjacent layers.     

Synergetic model for hysteresis and Re-entrant phase transitions

Summary We propose a very simple synergetic model system in which two subsystems (the state of each of them is described by an order parameter) acted upon by the same driving force interact via a crossed feedback: the input field to a subsystem is coupled to the order parameter of the other one. Each subsystem, if taken alone, exhibits a normal phase transition. The phase plane spanned by the two coupling parameters exhibits at least two relevant regions in which the behaviour of the order parameters is qualitatively different than in the isolated subsystems. The new features introduced by the synergism are, respectively, hysteresis and re-entrancy. We also make two simple examples of applications of the theory using a crude form of mean-field approximation and obtain a good qualitative agreement with experiment. Our synergetic approach shows that hysteresis and re-entrancy have a common origin: the interplay between two order parameters.

---

Riassunto Si propone un modello sinergetico molto semplice nel quale due sottosistemi (a ciascuno dei quali è associato un parametro d'ordine) interagiscono, sotto l'azione dello stesso campo, mediante una retroazione incorciata: il parametro d'ordine di ciascun sottosistema modifica l'azione del campo esterno sull'altro sottosistema. Ciascun sottosistema, considerato isolatamente, ha una transizione di fase normale. Il sinergismo introduce delle caratteristiche assenti nei sottosistemi isolati: a seconda dei valori delle costanti di accoppiamento si possono avere transizioni con isteresi o transizioni rientranti. Il modello, applicato a due sistemi reali mediante una rozza forma di approssimazione di campo medio, risulta in buon accordo qualitativo con gli esperimenti. Il nostro approccio sinergetico mostra che isteresi e transizioni rientranti hanno un'origine comune: l'interazione fra due parametri d'ordine.

---

Реэюме Мы предлагаем очень простую синергетическю модельную систему, в которой две подсистемы (состояния каждой иэ них описывается с помощяю параметра порядка) вэаимодействуют, при воэдействии того же поля, череэ дерекрестную обратную свяэь: исходное поле для одной подсистемы свяэано с параметром порядка другой подсистемы. Каждая подсистема, рассмотренная отдельно, обнарчживает нормальный фаэовый переход. Фаэовая плоскость, иэмеряемая двумя параметрами свяэи, обнаруживает, по крайней мере, две соответствующие области, где поведение параметров порядка окаэывается количественно раэличным по сравнению с иэолированными подсистемами. Соответственно, синергиэм вводит новуе свойства, отсутствующие в иэолированных подсистемах: в эависимости от величины константы свяэи воэможны переходы с гистереэисом или ?входящие? переходы. Рассматриваются два простых примера применения предложенной теории, испольэуя грубую форму приближения для среднего поля, и получается хорошее количественное согласие с экспериментом. Наш синергетический подход покаэывает, что гистереэис и ?входящие? переходы имеют общее происхождение: вэаимосвяэь между двумя параметрами порядка.