泰勒公式通古今─—微积分史学习扎记之二

泰勒公式在微积分的应用中起着无与伦比的作用。我们曾做过这样的试验，在设计数值分析课程的教学体系时，用泰勒公式“包打天下”，就是说，对于数值微积分中的常用算法，无论是算法的设计还是算法的分析，都仅仅依赖于泰勒公式。这一试验获得了成功，据此编著的通用教材《数值分析简明教程》多年来在全国被广泛采用[2]。1源头为使数值分析课程与数学分析相衔接，我们编写的教材[2]在阐述插值问题的提法时，先把泰勒公式视为一种插值公式，然后作为它的离散化导出所谓牛顿插值公式。这样处理在逻辑上是允许的，但这不符合历史的事实。在数…     

牛顿──莱伯尼兹公式架金桥──微积分史学习札记之一

1引言微积分是人类历史上最伟大的数学创造之一。微积分的数学思想和数学技术，至今仍是人们进行高等数学教育的主要内容。微积分的创立是一场深刻的数学革命。然而，这场革命的先驱者们，无论是笛尔儿还是牛顿，他们的世界观都是机械论的。在他们的心目中，一切自然现象包括人体的作用，都可以归结为力学机械的运动，都遵从力学的原理和定理。按照他们所描绘的世界图景，宇宙像架钟表，一旦被上帝创造出来并旋紧发条以后，就会永不停顿地运行下去，亿万斯年，永远不变。这种钟表式的宇宙图景已为现代科技所揭示出的客观事实所否定。时至今…     

Green公式破译

Green公式在多元微积分中占有极其重要的地位。翻开微积分教材我们看到，关于这个重要命题的论证偏于繁琐，读者往往知其然不知其所以然。提出Green公式的英国数学家G·Green（1793－1841年）出身贫寒，幼年辍学做工，直到40岁（1833年）才上大学。Green公式是他在1828年——即进大学之前提出的微积分公式，为什么今天的大学生竟会感到难以理解呢？著名数学家林群先生特别强调教学方法的改革。他曾在《世界科技研究与发展》的《院士论坛》上发表题为《教材破译》的文章［’j。林群先生在文中向读者奉献了一种破译教材的“点金术”：＊对一…     

微分方程的化归术

关于数学家的思维特征，匈牙利数学家RozsaPeter有独特见解。她认为数学家的思维过程有规律可循：“他们往往不是对问题实行正面的攻击，而是不断地将它变形，直到把它转化成能够得到解决的问题”。举一个通俗的例子来刻画数学家的这一思维特征。设想要烧开水，如果提供有煤气灶、水龙头、火柴与水壶，那么，人们的做法是一致的：先将水壶接上水龙头，并用火柴点燃煤气灶，然后再将水壶放到煤气灶上。如果现在其他条件不变，只是水壶已经装有足够的水，这种情况下该怎么做呢？这时似乎也没有异议：可省去往壶中灌水这道工序，而直接将水壶…