利用切线探寻一类导数问题的解决思路

<正>在历年高考数学试题中,导数问题多以压轴或次压轴题的形式(包括选填题和解答题)登场,其中运用导数解决函数零点(方程实根)以及不等式(证明或求参数范围)问题的出现频率最高.此类问题的难度往往较大,很多人即使阅读解答过程后,也难以真正理解其思路,难以把握其本质,更难以举一反三.本文分享一种利用切线来探寻此类问题解决的     

用判别式法求函数值域的几点思考

形如 ｙ =ａｘ2 ｂｘ ｃｄｘ2 ｅｘ ｆ(其中ａ2 ｄ2 ≠0 )的有理分式函数一般可转化为关于ｘ的一元二次方程 (ｄｙ -ａ)ｘ2 (ｅｙ -ｂ)ｘ (ｆｙ-ｃ) =0 (以下简称方程※ ,其中将 ｙ看作方程的系数 ) ,由方程有实根的条件Δ≥ 0来求函数值域的方法叫做“判别式法” .在运用此法的过程中若稍有疏忽便会导致函数值域的不完备或不纯粹 .例 1　求函数 ｙ =ｘ2 -ｘｘ2 -ｘ 1 的值域 .解　函数式变形为(ｙ - 1 )ｘ2 (1 - ｙ)ｘ ｙ =0 (1 )当 ｙ =1时 ,方程 (1 )为 1 =0 ,这显然不成立 ,因此 ｙ =1不在函数值域中 :当 ｙ≠ 1时 ,∵ｘ∈Ｒ …     

“烃”中的数学问题举隅

走向跨学科课程 ,走向学科综合是中学数学教学改革的趋势之一 .笔者把在学校的一节第二课堂“有机化学中的数学问题”中的部分例题呈现于下 ,以飨读者 .1　“烃”与立体几何图 1　例 1图例 1　甲烷CH4 分子结构呈正四面体 ,碳原子位于正四面体的中心 ,求甲烷分子中C -H的键角 .解　如图 1,设正四面体的棱长为 1,通过体积法容易得出 ,正四面体的中心到各面和顶点的距离之比为 1:3,于是CH =3412 - (33) 2 =64.由余弦定理可得 ,C -H键夹角的余弦值为- 13.从而查表可知C -H键的夹角为 10 9°2 8′ .2　“烃”与Euler公式例 2　目前 ,化学家…     

几个公式的重新推证

在推证球的表面积公式时，第一次接触到了无限逼近法，它使我有了很深的感触。     

一道结构不良解析几何试题的命制

综合结构不良问题与考试的特点,经过反复修正与雕琢,命制了一道解析几何结构不良试题.通过其原创过程的全景展示与剖析,一窥数学考试中结构不良问题的编制方法.     

一道高考导数压轴题的切线探寻思路

<正>笔者在文[1]中指出,在利用导数解决关于函数零点(或方程实根)的个数问题以及不等式的证明或求参数范围问题时,可以把曲线在某点处的切线作为临界状态来寻求题目的答案或解题思路,进而把未知结果的求解问题转化成已知结果的证明问题.同时指出,此类问题在历届高考试题中频繁出现,恰巧在2020年全国高考数学Ⅰ卷理科试题第21题第(2)小问中再现此类问题.本文以此题为例,在文[1]的基础上详细阐述曲线切线的寻求方法以及如何发挥切点的功效.     

一道高考试题的溯源、延展与改编

对2021年高考全国甲卷导数压轴题的情境来源进行教材背景的追溯,并通过对问题设置的延展和函数模型进行改编,得到一系列崭新的题目,旨在为同行在原创命题的过程中提供一些思考和借鉴.     

寻味高考经典 命题不再犯难——一组导数孪生题诞生记

在品味、研究一道经典高考试题的基础上,经过引入参数、扩展区间、改变函数模型,分析极值点和零点之间的关系,得到一组新的导数试题.     

2022年高考全国甲卷第16题的深度探析

对2022年高考全国甲卷第16题,在研究其若干解法的基础上,溯源试题的高等几何背景,探究问题的本质以及变式题的编制.