对2010年北京高考理科第19题的多种解法的探讨

2010年高考北京卷理科第19题的背景取自于教材,但作了创新,重点考查了学生对知识的迁移能力,逻辑思维能力及代数运算能力和探究问题的能力,难度并不大,但却显露精彩,是一道难得的好题.本文给出该题的另外几种解法,与大家共勉.     

巧用向量珐处理一类无理函教的值域

题目(2008年重庆理科4)已知函数y=√(1-x)+√(x+3)的最大值为M,最小值为m,则m/M的值为A.1/48.1/2c.√2/2D.√3/2 分析此题属于容易题,常规方法是两边平方,然后用不等式或者二次函数的相关性质容易求得最大值M=2√2,最小值m=2,所以m/M=√2/2. 但是如果继续探讨此题,我们会发现两边平方并不是一种通解通法,比如把上题函数改为Y=√(1-x)+2√(x+3),那么两边平方就不能很好解决此函数的值域.所以本文就从向量的角度谈谈这类无理函数的值域的处理,期望得到一个统一的方法.     

对无理函数最值问题的多种解法的探讨

试题 已知函数y=√(3-x)+√x+1的最大值为M,最小值为m,则m/M的值为A.1/4 B.1/2 C.√2/2 D.√3/2此题作为一道选择题,我们容易得出答案为C,但此题同时也是一道典型的形如y=√(ax+b)+√(cx+d)(ac＜0)的求函数最值的题.它是高中数学的一个热点同时也是一个难点.本文研究此题的多种解法,与大家共勉.1 利用二次函数的性质求最值解法1显然y≥0,两边平方的y2 =4+2√(3+2x-x2),移项得y2-4=2√(3+2x-x2).因为x∈[-1,3],所以3+2x-x2 ∈[0,4],.即2√(3+2x-x2)∈[0,4],所以ymax=2√2,ymin=2.解法2由上面变形得到的y2-4=2√(3+2x-x2),两边再平方整理得4x2 -8x+y4-8y2 +4=0.(*)记f(x)=4x2 -8x+y4-8y2 +4,方程(*)在x∈[-1,3]有解.