略述一类求参数取值范围问题的共同解法--兼论数学教师在教与学活动中的主体地位

考察这样的问题 :已知函数ｙ=ｘ-ａ的图象与其反函数的图象有公共点 ,求实数ａ的取值范围 .避开具体教法不谈 ,樊老师在文 [1 ]中引导学生得到下面一种解法 ,这就是ｙ=ｘ-ａ(ｘ≥ａ)在 [ａ ,+∞ )上是增函数 ,它有反函数因为如果ｙ=ｆ(ｘ)单调增 ,且ｙ =ｆ(ｘ)与ｙ=ｆ- 1 (ｘ)有公共点 (ａ ,ｂ) ,那么ａ =ｂ所以已知函数ｙ=ｘ-ａ 的图象与其反函数的图象有公共点 ,则该公共点必在直线ｙ=ｘ上 .所以 ｙ=ｘ-ａｙ=ｘ 　 ｘ2 =ｘ-ａ有解 Δ ≥ 0 .从而ａ≤ 14.本人以为 ,这样做没有揭示出问题的本质特征 .试问 :若函数ｙ=ａ-ｘ的图象与其反函…     

“x≥a and x≤2无解”即“a≤x≤2不成立”吗?

众所周知 ,“ ｘ≥ａｘ≤ 2 无解”即“ ｘ≥ａｘ≤ 2 的解集是 ” ,那么“ａ≤ｘ≤ 2不成立”又是什么意思呢 ?拙以为 ,设Ａ =ｘ ｘ≥ａｘ≤ 2 ,则ｘａ≤ｘ≤ 2不成立 =Ａ而Ａ =[ａ ,2 ]　　　 (ａ <2 ){ 2 }　　　　 (ａ=2 ) 　　　　　 (ａ>2 )故Ａ=(-∞ ,ａ) ∪ (2 , ∞ )　　 (ａ<2 )(-∞ ,2 ) ∪ (2 , ∞ )　　 (ａ=2 )　　　　Ｒ　　　　　　 (ａ>2 )再深究下去 ,“ａ≤ｘ≤ 2不成立 /　ａ >2”但“ａ >2 ａ≤ｘ≤ 2不成立”即“不等式ａ≤ｘ≤ 2不成立”是“ａ>2”的必要不充分条件 .文[1 ] 中介绍并解答了这样的问题 :已知集合…     

“x≥a,x≤2无解”即“a≤x≤2不成立”吗？

众所周知,"{x≥a x≤2无解"即"{x≥a x≤2的解集是φ",那么"a≤x≤2不成立"又是什么意思呢?     

也谈一组数学问题的统一解法

文［1］中用分母整体换元法证明了一类分式不等式，但较繁．本文介绍另一种解此类问题的通法，以飨读者．首先介绍不等式（1）和（2）．当且仅当bi=kai（b为常数，i=1，2，…，n）时取“=”号（以下略）它的证明见［2］下面就用（1）或（2）证明[1]中所提到的一组数学问题．例1设证明很简单，无需任何技巧注：如[1]所述，若采用分母整体换元法，需令S-a1=k1，S－a2=k2，…，S－an=kn得a1=S-k1，a2=S-k2，…，an=S-kn，经代换化简整理变后，还要再用（1）或均值不等式方能使问题获得解决．类似的例子不一一枚举．对于［1］中一些貌现繁难…     

我与数学通报

我与数学通报徐鸿迟（江苏泰州三中２２５３００）我是《数学通报》的老读者了．还是在读高中的时候，教代数的老师就常在课外把《数学通报》上的文章介绍给我阅读，以培养我学习数学的兴趣、引导我领略大千数学世界的无限风光．以后我又省下零用钱和几个爱好数学的同学一...     

双曲线中点弦存在定理证明的改进

双曲线中点弦存在定理证明的改进徐鸿迟（江苏泰州三中２２５３００）在［１］中通过定理１和２介绍了双曲线的中点弦存在的充要条件，但对定理的证明却相当繁琐，其中用到了分类讨论和坐标变换．行文达数千字，实际上应用射影几何的配极原理及直线的参数方程即可化繁为简...     

均值代换和不等式的证明

设ｘ≥ 0 ,ｙ≥ 0 .作为算术平均———几何平均不等式Ａ ≥Ｇ的应用 ,我们把代换Ａ =ｘ ｙ2Ｇ =ｘｙ叫做均值代换 .在这样的代换下有 :ｘ ｙ =2Ａ ,ｘｙ=Ｇ2 ,(ｘ -ｙ) 2 =4Ａ2 - 4Ｇ2 =4(Ａ Ｇ) (Ａ-Ｇ)ｘ2 ｙ2 =4Ａ2 - 2Ｇ2 =2 (2Ａ2 -Ｇ2 )ｘ3 ｙ3=8Ａ3- 6ＡＧ2 =2Ａ(4Ａ2 - 3Ｇ2 )……由于ｍａｘ(ｘ ,ｙ)≥Ａ≥Ｇ≥ｍｉｎ(ｘ ,ｙ) ≥ 0 ,因此应用均值代换法证不等式特别利于放缩 ,能起化难为易的作用 ,收事半功倍的效果 .例 1　 (美国纽约 ,1 975 )证明 ,对任意正数ａ≠ｂ之算术平均值Ａ=ａ ｂ2 与几何平均值Ｂ=ａｂ ,有Ｂ <(ａ-ｂ) …     

对一道探索性问题的质疑

对一道探索性问题的质疑徐鸿迟（江苏省泰州中学２２５３００）张必华在［１］中对“已知数列｛ａｎ｝满足ａ１＝５６，ａｎ＋１＝１３ａｎ＋（１２）ｎ＋１（ｎ１），并且数列｛ａｎ＋１－１２ａｎ｝是公比为１３的等比数列，求通项ａｎ”的《问题》进行了探索，并指出...     

一条件恒等式证明之我见

一条件恒等式证明之我见徐鸿迟（江苏省泰州中学２２５３００）考察这样的问题：已知ａ＋ｂ＋ｃ＝ａｂｃ，求证ａ（１－ｂ２）（１－ｃ２）＋ｂ（１－ｃ２）（１－ａ２）＋ｃ（１－ａ２）（１－ｂ２）＝４ａｂｃ．徐南昌在［１］中用数学审美的目光发现了下面的“证法”：...     

怎样讲关于圆的三条定理的证明

圆周角定理、弦切角定理和正弦定理的证明是初中平面几何教学中比较难讲难学的内容,难就难在它们都需要分三种情况进行讨论。为什么要分情况讨论?又为什么偏要分三种情