一个三角形区域的绝对值方程

根据文 [1]介绍 ,方程｜x｜+ y-1+ ｜x｜=1(1)是“绝对值方程”研究历程中的第一个三角形方程 .现对 (1)表示的图形再给出一种推演证法 ,然后给 (1)一个推广 ,由此得到一个三角形区域的绝对值方程 .解　将方程 (1)改为下列形式｜y-(1-｜x｜) ｜=1-｜x｜由此不难得到 :(i) ｜x｜≤ 1,即 -1≤x ≤ 1;(ii) y=0时有 1-｜x｜ =1-｜x｜ ,对｜x｜≤ 1,均成立 ;(iii) y=2 (1-｜x｜)为 (1)的解 .由 (i) ,(ii)得线段AB ,由 (iii)得线段AC及BC ,所以△ABC便是方程 (1)表示的图形(见图 1) .图 1　　　　　　　　　图 2从抽象的角度审视方程 (1) ,它…     

Pedoe不等式和另一个涉及两个三角形的不等式

1.设△ABC与△A'B'C'的边长分别为α,β,γ与α′,β′,γ′,它们的面积分别为△与△′,则有不等式 H≡α′~2(-α~2 β~2 γ~2) β′~2(α~2-β~2 γ~2) γ′~2(α~2 β~2-γ~2)≥16△△′(1)式中等号当且只当△ABC∽△A'B'C'时成立。     

对《关于等差数列的一组不等式》一文中主要结果的意见

《关于等差数列的一组不等式》(作者续铁权 )发表在《数学通报》2 0 0 1年第 8期上 .该文的主要结果是一个定理 ,即文中的不等式 (6 ) ,不等式(7) ,和两个推论 ,即不等式链 (8) ,(9) ,还有 (8)的一个应用 ,即不等式链 (1 0 ) .经笔者验算后得知 ,(1 0 )对ｎ =1 ,2构不成不等式链 ,加之 (1 0 )中还有……表示蕴含更多的链 ,这就表明 ,链越多 ,对ｎ的限制越大、没有ｎ∈Ｎ普适意义 .(1 0 )中出现的问题在 (8) (也包括(9) )也类似地存在 .这样 ,此文的价值就受到很大的削减 .下面是笔者验算的主要结果 ,请编辑与作者细查 .当ｎ=1时 ,(1 0 )变成…     

一个不定方程的整数解

证明：不定方程有无穷多组适合条件x＞0的整数解．此方程由美国俄克拉何马州立大学的EdProthro提供,发表在1996年3月号的《美国数学月刊》上,题号为10510．1998年4月号该刊登出解答,提供解答者约50人,还有几个解题小组,涉及的国家有加拿大、法国、瑞士、联合王国、阿曼、印度、德国、捷克、匈牙利、丹麦和美国等．整数解有以下五种表达式：其中Q=r2-rs＋s2编者注中指出,以上结果推翻了AllenB．Calhamer的猜想：只有64是唯一的立方数（43）它是三角形数与完全平方数（62）的和．另外,还有人给出z≤100时74组正整数解．（方程的几何…     

数学问题解答

2013年7月号问题解答 （解答由问题提供人给出） 2031 如图,已知A、B是圆O上的两个定点,P是优弧AB上的动点．圆I与圆O内切于点L,且分别与PA、PB相切于点E、F．求证：直线EF恒与一定圆相切． 证明 连结PI并延长交圆O于点C,且与EF相交于点G．作圆O的直径CD和KL,则KL过点I．连结EI、AC、AD.     

一个不等式的再证与推广

已知ａ>13,ｂ>13,ａｂ=29,求证ａ ｂ<1 ,文 [1 ]采取构造二次方程来证明此不等式 ,文 [2 ]又给出了一个更为简捷的证法 ,的确是三言两语便说明了问题 .但要说证法最优 ,倒很难判定 :什么叫“最”优证法 ?有独一无二的“最”优证法吗 ?现将上面的题目稍加推广 :已知　ａ1 >14,ａ2 >14,ａ3>14;ａ1 ａ2 ａ3=24 3.求证　ａ1 ａ2 ａ3<1 .要用文 [1 ]、[2 ]的证法给予证明便行不通了 ,可见 ,这两种证法都有局限性 ,适用范围不广 .另外 ,文 [1 ]在构造二次方程ｘ2 -ｔｘ 29=0中 ,还可由判别式Δ=ｔ2 - 89≥ 0 ,得到不等式　ｔ=ａ ｂ≥2 23.当然…