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命题 ｚ1,ｚ2 是两个模相等的非零复数 ,则 (ｚ1+ｚ2 ) 2 =λ2 ｚ1ｚ2 的充要条件是 |ｚ1+ｚ2 | =λ|ｚｋ|(其中λ∈Ｒ+ ,ｋ =1,2 ) .证 ①∵ (ｚ1+ｚ2 ) 2 =λ2 ｚ1ｚ2 ,∴ (ｚ1+ｚ2 ) 2 =λ2 ｚ1ｚ2 ,两式相乘得 |ｚ1+ｚ2 | 4 =λ4 |ｚｋ| 4 ,∴ |ｚ1+ｚ2 | =λ|ｚｋ| (其中λ∈Ｒ+ ,ｋ =1,2 ) .②∵ |ｚ1| =|ｚ2 | ,∴ｚ1=ｚ2 ｚ2ｚ1,∴ｚ1+ｚ2 =ｚ2 (ｚ1+ｚ2 )ｚ1,由 |ｚ1+ｚ2 | =λ|ｚ2 |得(ｚ1+ｚ2 ) (ｚ1+ｚ2 ) =λ2 ｚ2 ｚ2 ,所以有 (ｚ1+ｚ2 ) 2 =λ2 ｚ2 ｚ1,则 (ｚ1+ｚ2 ) 2 =λ2 ｚ1ｚ2 .综合① ,② ,命题得证 .这个性质用于… 相似文献
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