排列、组合与二项式定理

本单元的重点有两个，一个重点是解决排列组合综合应用问题，遵循以下：     

等比数列公比的极限分析法

极限分析法是处理无穷等比数列的一个有效方法. 设{an)是公比为q的无穷等比数列,将an+1/an=q两边取极限,得 这说明等比数列中an+1/an的极限存在.且就是公比q.     

构造单调奇函数解一类竞赛题

1性质 设函数f(x)为单调的奇函数,若f(二、)十 f(二:)一0.则二!+二:一0. 证明:f(二,)十f(二:)一0冷了(x,)一 一f(二2)一f(一二:)”根据单调性,、、一一x:,二, +xZ~0. 2应用 下面利用这一性质速解一类竞赛题. 例l已知实数x、y满足(3二+y)5十扩+ 4二十y一o,求cos(4二+刃的值. 解由(3二+刃”十护+4x+y~o得(3x十 y)5+分十(3工+y)+x一0. 构造函数F(二)一扩+二,易证F(x)为尺 上的单调递增奇函数. 已知条件即为F(3x+妇十F(x)~。,故 (3了+y)+x~O,cos(4x十y)一1. 例2(1997年全国高中数学联赛题)设,、y 的单调递增奇函数, 由已知得F(二一l)十F(y一…     

均值不等式的四个使用技巧

均值不等式的使用是一个学习难点 ,这里介绍 4个小技巧 ,帮助同学们熟悉并掌握其简单使用 .均值不等式中最常用的是a+b2 ≥ab(a ,b∈R+ ) ,下面以此不等式的应用为例说明 .1　简单累加累乘无需分组 ,对原有各组分别使用均值不等式 ,再做累加累乘即可 ,这应是优先考虑的情况 .例 1　已知a ,b,c >0 ,则a(b2 +c2 ) +b(c2 +a2 ) +c(a2 +b2 )≥ 6abc .解　左边≥a·2bc +b·2ca +c·2ab =6abc.其中等号成立当且仅当a =b =c时成立 .(下面各例等号成立均为a =b =c,为简便计 ,均省略 )例 2　已知a ,b >0 ,则　　 1a+1b1a2 +1b2 (a3+b3)≥ 8.解　左…     

“先分组，后分配”问题的统一解法

排列组合综合应用问题中有一类“分组、分配”的问题，由于其问题形式、解答形式变化多端，理解、应用起来颇感棘手，本文将给出这一类问题的统一结论，以助准确理解、快捷应用．     

指数函数与对数函数

2重点、难点、热点分析指数函数、对数函数（以下简称两类函数）是基本初等函数中的两种重要函数，研究它们既有拓展基础知识的意义，又有深化函数学习的意义．     

一种基于线性规划的多基色显示系统设计

多基色显示系统采用增加基色数量的方法能有效地扩大显示器的再现色域。针对三基色到多基色的映射线性方程组解的不唯一性,提出了一种基于亮度最大的线性规划优化算法。该方法根据颜色亮度和色域之间的关系,用线性规划求得亮度最大值时的最优解。最后将该算法运用到了五基色显示系统。结果表明,白点亮度达到了最大值,同时系统的色域较三基色显示系统扩大了约20%。     

正三角形的19组充要条件

判断三角形的形状是一类重要的问题 ,通常使用三角变换 (含正弦、余弦定理 )求解 ,也可用向量形式给出 .本文给出△ABC为正三角形的一组充要条件 ,供学习参考 ,也可从中充分体会数学的对称美 .条件 1　a =b =c .条件 2　A =B =C .条件 1 ,条件 2是正三角形的定义 ,是判断正三角形的最基本的依据 .条件 3　cos(A -B)cos(B -C)cos(C -A) =1 .条件 3由余弦函数的有界性立得 .条件 4　 2b =a +c,b2 =ac.条件 5　 2B =A +C .B2 =AC .条件 4与条件 5由既等差又等比的数列是常数列立得 .条件 6　 2B =A +C ,2b =a +c.条件 7　 2B =A +C ,…     

“集合”教学随想

集合论是19世纪末到20世纪初以康托为代表的数学家创立的一门数学理论，今天的集合论研究已经相当完善，集合论已经肩负起为整个数学提供语言的重任，中学里正是把它当作一种数学语言来学习，笔者特别想谈谈“集合”一节的教学随想，这有别于一般的教材分析和教学体会．     

正七边形的一个特殊性质

正七边形是一个十分特殊的多边形,它的一个显著特征是蕴含内角为π/7,2π/7,4π/7(或比值为1:2:4)的三角形,这一点深受数学竞赛的青睐. 例1 △ABC的边长为a,b,c,对应角的大小之比为1:2:4,求证:1/a=1/b 1/c. 这是一个经典的问题,下面这道题完整地