Homotopical variations and high-dimensional Zariski-van Kampen theorems

We give a new definition of the homotopical variation operators occurring in a recent high-dimensional Zariski-van Kampen theorem, a definition which opens the way to further generalizations of theorems of this kind.

     

Zariski's multiplicity question and aligned singularities

We answer positively Zariski's multiplicity question for special classes of nonisolated singularities. To cite this article: C. Eyral, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006).     

Tomographie Des Varietes Singulieres Et Theoremes De Lefschetz

Nous étudions l'homotopie d'une variétéquasi-projective dans un espace projectif complexe selon laméthode de Lefschetz, c'est-à-dire en considérantses sections par les hyperplans d'un pinceau (tomographie).En particulier, nous aboutissons à un théorèmedu type de Lefschetz qui généralise dans une certainedirection les meilleurs résultats connus dus àHamm, Lê, Goresky et MacPherson. Ce théorèmeest démontré par récurrence sur la dimensionde l'espace projectif ambiant à partir d'un théorèmesur les pinceaux d'axe générique qui constituele résultat principal de l'article. Ce dernier comparela topologie de la variété à celle de sasection par un hyperplan générique du pinceausur la base des comparaisons (section hyperplane générique– section par l'axe du pinceau) et (sections hyperplanesexceptionnelles – section par l'axe); l'incidence dessingularités est mesurée par un invariant appelé‘profondeur homotopique rectifiée globale’(analogue global de la notion de profondeur homotopique rectifiéede Grothendieck). We study the homotopy of a quasi-projectivevariety in a complex projective space following Lefschetz'smethod, that is, by considering its sections by the hyperplanesof a pencil (tomography). Specifically, we obtain a theoremof Lefschetz type which generalizes in a certain direction thebest-known results due to Hamm, Lê, Goresky and MacPherson.This theorem is proved by induction on the dimension of theambient projective space with the help of a theorem on pencilswith generic axis which is the main result of the paper. Thelatter compares the topology of the variety with that of itssection by a generic hyperplane of the pencil, on the basisof the following comparisons: section by a generic hyperplanewith section by the axis of the pencil; and sections by theexceptional hyperplanes with section by the axis. The effectof the singularities is measured by an invariant called ‘globalrectified homotopical depth’ (a global analogue of thenotion of rectified homotopical depth of Grothendieck). E-mail: eyral{at}cmi.univ-mrs.fr 2000 Mathematics Subject Classification:32S50, 14F35, 14F17.