Kriterien für diophantische Ungleichungen,indefinite Haupt-formen und Hauptideale quadratischer Zahlkörper

Ohne Zusammenfassung     

Ein Kriterium für die periodischen Diagonalkettenbrüche

Zusammenfassung Periodische DIagonalkettenbrüche weisen — über die bekannte, in ihrer Definition begründete, Grundeigenschaft hinaus — bemerkenswerte Regelmäßigkeiten auf. IN dieser Arbeit ist aufgezeigt, daß der NäherungsbruchA _v–1 /B _v–1 der quadratischen Irrationalzahl :Q ₀ (normiert,Q ₀>0 angenommen),dann und nur dann auch Näherungsbruch der Diagonal-kettenbruchentwicklung von ₀ ist, wenn der NennerQ _v in dem vollständigen Quotienten :Q _v von ₀ kleiner ist als (Satz 4), ausgenommen höchstens den Fall, daß der Vorperiode oder der 1. Periode der regelmäßigen Kettenbruchentwicklung von ₀ angehört.Ist speziell die Quadratwurzel aus einer natürlichen nichtquadratischen Zahl, so gilt die Regelmäßigkeit für alle 1 (Satz 1). In Satz 4 ist näher erläutert, von welchem an die Formel im allgemeinen Fall notwendig gilt.Das gegebene Kriterium erleichtert sowohl die Bestimmung der Diagonalkettenbruchentwicklung quadratischer Irrationalzahlen als auch die Lösung diophantischer Ungleichungen, wie es auch weitere, über den Rahmen dieser Arbeit hinausgehende, theoretische Schlußfolgerungen ermöglicht, auf die wir in anderem Zusammenhang eingehen werden.Herrn Prof.Nils Pipping, Helsingfors, zum 75. Geburtstag am 14. Mai 1965 gewidmet     

Rationale of the chakravāla process of Jayadeva and Bhāskara II

The old Indian chakravāla method for solving the Bhāskara-Pell equation or varga-prak$\text{r}\text{?}$ti x² ? Dy² = 1 is investigated and explained in detail. Previous misconceptions are corrected, for example that chakravāla, the short cut method bhāvanā included, corresponds to the quick-method of Fermat. The chakravāla process corresponds to a half-regular best approximating algorithm of minimal length which has several deep minimization properties. The periodically appearing quantities (jye$\text{s}\text{?}$$\text{t}\text{?}$ha-mūla, kani$\text{s}\text{?}$$\text{t}\text{?}$ha-mūla, k$\text{s}\text{?}$epaka, ku$\text{t}\text{?}$$\text{t}\text{?}$akāra, etc.) are correctly understood only with the new theory.     

Solubility-Driven Isolation of a Metastable Nonagold Cluster with Body-Centered Cubic Structure

The conventional synthetic methodology for atomically precise gold nanoclusters by using reduction in solution offers only the thermodynamically most stable nanoclusters. Herein, a solubility-driven isolation strategy is reported to access a metastable gold cluster. The cluster, with the composition of [Au₉(PPh₃)₈]⁺ ( 1 ), displays an unusual, nearly perfect body-centered cubic (bcc) structure. As revealed by ESI-MS and UV/Vis measurements, the cluster is metastable in solution and converts to the well-known [Au₁₁(PPh₃)₈Cl₂]⁺ ( 2 ) within just 90 min. DFT calculations revealed that although both 1 and 2 are eight-electron superatoms, there is a driving force to convert 1 to 2 as shown by the increased cohesion and larger HOMO–LUMO energy gap of 2 . The isolation and crystallization of the metastable gold cluster were achieved in a biphasic reaction system in which reduction of gold precursors and crystallization of 1 took place concurrently. This synthetic protocol represents a successful strategy for investigations of other metastable species in metal nanocluster chemistry.     

Uber den Zuwachs der Näherungsnenner einiger Typen von Kettenbrüchen

Ohne ZusammenfassungHerrn Professor Dr.Hermann Schmidt zum 60. Geburtstag am 22. Juli 1962 gewidmet