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1.
2.
H. Alzer 《Periodica Mathematica Hungarica》1994,28(3):229-233
We prove: IfG(n) denotes the geometric mean of the firstn positive integers, then $$1< 1 + \frac{{G(n)}}{{G(n - 1)}} - \frac{{G(n + 1)}}{{G(n)}}< 1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}< n\frac{{G(n + 1)}}{{G(n)}} - (n - 1)\frac{{G(n)}}{{G(n - 1)}}$$ holds for alln≥3. 相似文献
3.
Summary Forf ( C
n() and 0 t x letJ
n
(f, t, x) = (–1)n
f(–x)f
(n)(t) +f(x)f
(n)
(–t). We prove that the only real-analytic functions satisfyingJ
n
(f, t, x) 0 for alln = 0, 1, 2, are the exponential functionsf(x) = c e
x,c, . Further we present a nontrivial class of real-analytic functions satisfying the inequalitiesJ
0
(f, x, x) 0 and
0
x
(x – t)n – 1Jn(f, t, x)dt 0 (n 1). 相似文献
4.
Horst Alzer 《Advances in Computational Mathematics》2010,33(3):349-379
We present various inequalities for the error function. One of our theorems states: Let α?≥?1. For all x,y?>?0 we have $$ \delta_{\alpha} < \frac{ \mbox{erf} \left( x+ \mbox{erf}(y)^{\alpha}\right) +\mbox{erf}\left( y+ \mbox{erf}(x)^{\alpha}\right) } {\mbox{erf}\left( \mbox{erf}(x)+\mbox{erf}(y)\right) } < \Delta_{\alpha} $$ with the best possible bounds $$ \delta_{\alpha}= \left\{ \begin{array}{ll} 1+\sqrt{\pi}/2, & \ \ \textrm{{if} $\alpha=1$,}\\ \sqrt{\pi}/2, & \ \ \textrm{{if} $\alpha>1$,}\\ \end{array}\right. \quad{\mbox{and} \,\,\,\,\, \Delta_{\alpha}=1+\frac{1}{\mbox{erf}(1)}.} $$ 相似文献
5.
Horst Alzer 《Mathematische Zeitschrift》2011,267(1-2):367-384
We present various inequalities for the harmonic numbers defined by ${H_n=1+1/2 +\ldots +1/n\,(n\in{\bf N})}$ . One of our results states that we have for all integers n ???2: $$\alpha \, \frac{\log(\log{n}+\gamma)}{n^2} \leq H_n^{1/n} -H_{n+1}^{1/(n+1)} < \beta \, \frac{\log(\log{n}+\gamma)}{n^2}$$ with the best possible constant factors $$\alpha= \frac{6 \sqrt{6}-2 \sqrt[3]{396}}{3 \log(\log{2}+\gamma)}=0.0140\ldots \quad\mbox{and} \quad\beta=1.$$ Here, ?? denotes Euler??s constant. 相似文献
6.
Horst Alzer 《Aequationes Mathematicae》2003,66(1-2):119-127
7.
Horst Alzer 《Czechoslovak Mathematical Journal》2000,50(1):99-102
Let p (0, 1) be a real number and let n 2 be an even integer. We determine the largest value c
n(p) such that the inequality
holds for all real numbers a
1,...,a
n which are pairwise distinct and satisfy
. Our theorem completes results of Ozeki, Mitrinovi-Kalajdi, and Russell, who found the optimal value c
n(p) in the case p > 0 and n odd, and in the case p 1 and n even. 相似文献
8.
Horst Alzer 《Proceedings of the American Mathematical Society》2000,128(1):141-147
We prove the following two theorems:
(i) Let be the th power mean of and . The inequality
holds for all if and only if , where denotes Euler's constant. This refines results established by W. Gautschi (1974) and the author (1997).
(ii) The inequalities
are valid for all if and only if and , while holds for all if and only if and . These bounds for improve those given by G. D. Anderson an S.-L. Qiu (1997).
9.
Horst Alzer 《Archiv der Mathematik》1986,47(5):422-426
Ohne Zusammenfassung 相似文献
10.