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对一个几何不等式的探究 总被引：1，自引：1，他引：0
文 [1 ]～ [3]先后用复数方法和三角方法证明了如下一个漂亮的几何不等式 :设 a,b,c分别表示△ ABC的三边 BC,CA,AB的长 ,则对△ ABC所在平面上的任意两点 P,Q,恒有a PA.QA+ b PB.QB+ c PC.QC≥ abc ( 1 )文 [2 ]作者特别指出 :不等式 ( 1 )难度较大 ,至今尚未找到其纯几何证法 .而且文 [1 ]～ [3]均未论及 ( 1 )式取等号的条件 .本文首先给出不等式 ( 1 )的两个纯几何证法 ,顺便引出 ( 1 )式取等号的条件 ,然后再由 ( 1 )式导出三角形中的几个新颖的不等式 .为方便叙述 ( 1 )式取等号的条件 ,我们需用到等角共轭点的概念 [4] :… 相似文献
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四十多年前 ,Ｋ .Ｆａｎ ,Ｏ .Ｔａｕｓｓｋｙ和Ｊ .Ｔｏｄｄ发现并证明了如下两个优美的初等不等式[1] :设ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ 皆为实数 ,1° 若ａ0 =ａｎ 1=0 ,则2 (1-ｃｏｓ πｎ 1) ｎｋ =1ａ2 ｋ≤ ｎ 1ｋ =1(ａｋ-ａｋ- 1) 2 (1)等式成立当且仅当ａｋ=Ｃｓｉｎ ｋπｎ 1(ｋ =1,2 ,… ,ｎ ,Ｃ为实常数 ) .2° 若ａ0 =0 ,则2 (1-ｃｏｓ π2ｎ 1) ｎｋ =1ａ2 ｋ≤ ｎｋ =1(ａｋ-ａｋ - 1) 2 (2 )等式成立当且仅当ａｋ=Ｃｓｉｎ ｋπ2ｎ 1(ｋ =1,2 ,… ,ｎ ,Ｃ为实常数 ) .1982年 ,Ｇ .Ｖ .Ｍｉｌｏｖａｎｏｖｉｃ和Ｉ.… 相似文献
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对于若干个正实数的和与其倒数和之间的关系 ,我们最熟悉的莫过于如下不等式[1] :设 a1,a2 ,… ,an 皆为正实数 ,则有 ( ∑ni=1ai) ( ∑ni=1a-1i )≥ n2 ( 1 )等式成立当且仅当 a1=a2 =… =an.在不等式 ( 1 )中 ,正实数 a1,a2 ,… ,an之间的关系是独立的 ,即任何一个 ai 的取值均与其余 aj( j≠ i)的取值无关 .如果其中某些 ai的取值依赖于另外一些 aj 的取值 ,那么 ,不等式 ( 1 )的右边将会引起怎样的变化 ?这种思考的结果使我们获得了如下三个有趣的不等式 :定理 1 设 a1,a2 ,… ,an 皆为正实数 ,an+ 1=r ∑ni=1ari ( r≥ 1 ) ,… 相似文献
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