关于0°型不定式的值为1的几个定理

设函数f(x)、g(x)满足: Ⅰ.在区间(a,b)内有定义,且f(x)>0(x∈(a,b))■大家知道，在一般情况下，根限lim f(x)g(x)的     

布洛卡点与一道IMO试题

题设P是△ABC内一点,求证∠PAB、∠PBC、∠PCA至少有一个小于或等于30°。这是1991年举行的第32届国际数学奥林匹克第五题,我们把黄岗中学王崧的解法(参见[1])摘要如下: 证明如图1,容易推得sinasinβsiny=sin(A—a)sin(B—β)sin(c—y)(1) 由于当x,y∈(0,π)时有 sinxsiny=(cos(x-y)-cos(x y))/2 ≤sin~2(x y)/2 (2) 以及Insinx是上凸函数,故 sinasinβsinysin(A-α)sin(B-β)sin(C-y)≤sin~6(α β y A-a B-β C-)/6=(1/(2~6)) (3)     

一组无穷级数求和的另一种方法

给出(1)—(3)式另一种证明。由于对此三个级数求和的证法完全相同,因此这里仅给出(3)式的证明。对(1)、(2)式读者完全可仿照去做。     

关于对称平均数定理及其应用

我们把n个正数α_1,α_2,…,α_n的k次对称平均数定义为其中k≤n为正整数;根号内分子部分是n个正数每次不重复地取k个的乘积之和,共有C_n~k项。为简单计,我们把(1)记为∑_n~k(α_1,α_2,…α_n),或者有时就记为∑_n~k。显然, ∑_n~1(α_1,α_2,…α_n)=(α_1 α_2 ……α_n)/n即为n个正数的算术平均数,而∑_n~n(α_1,α_2,…α_n)=则是n个正数的几何平均数。本文先介绍有关n个正数的k次对称平均数的重要性质的两个定理,然后给出它的一些应用。首先,我们证明定理1.(∑_n~k)~(?)k≥(∑_n~(k 1))~(k 1)·(∑_n~(k-1))~(k-1)(k=1,2,…,n-1) (这里规定∑_n~0=1)。证明.为书写方便,记(∑_n~k)~k=P_n~k。因而我们要证明的就是 (P_n~k)~2≥P_n~(k 1)·P_n~(k-1)(P_n~0=1,k=1,2,…n-1)     

问题与解答

一、本期问题 1.设曲线y=ax~2+bx+c(a,b,c为实数)与直线y=x及y=-x均不相交。试证对一切x∈(-∞,∞)都有 |ax~2+bx+c|>1/(4|a|)。 2.在五个连续的自然数中恰有三个数成公比为自然数的等比数列。求出这五个连续的自然数。 3.一直线通过线段AB的中点O,直线与线段AB的一个夹角为θ且0<θ<π/2,动点P在直线上变动,证明tgθ/2 ≤PA/PB≤ctgθ/2。