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若不等式两边各项的次数相等 ,不妨称之为齐次不等式 .如均值不等式中 ,a2 +b2 ≥2ab ,是齐二次不等式 ,a +b+c3 ≥ 3 abc是齐一次不等式 ,对某些非齐次不等式的证明 ,若能结合题设条件 ,将低次项的次数适当升高 ,从而将原不等式转化为齐次不等式来处理 ,往往会产生出奇制胜的解题效果 .例 1 已知a、b、c∈R ,且a+b +c=1.求证 :ab +bc+ca≤ 13 .分析 所证不等式左边是二次式 ,右边是一个常数 ,即零次式 .由已知 a +b+c =1,∴ (a+b+c) 2 =1,从而所证不等式可化为齐二次不等式ab +bc+ca≤ 13 (a +b+c) 2 ,即 a2 +b2 +c2 ≥ab +bc+ca .而 左边 -右边= 12 [(a-b) 2 +(b -c) 2 +(c -a) 2 ] ≥ 0 ,∴ 原不等式成立 .例 2 已知 p3 +q3 =2 .求证 :p+q≤ 2 .分析 所证不等式左边为一次式 ,右边为零次式 ,考虑到已知等式是一个三次式 ,从而将所证不等式两边立方 ,得 (p+q) 3 ≤ 8,∵ p3 +q3 =2 , ∴ 8=4( p3 +q... 相似文献
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