三角函数在代数解题中的应用

有些代数问题,如用纯代数方法求解往往比较困难,但通过适当的换元,变成三角问题求解,不但可以简化书写过程,而且能使数量系明朗化,从而化难为易,找到解决问题的途经。代数问题进行三角代换,关键在于熟悉三角函数的性质和一些重要大系式。下面归类举例说明: 一形如x~2+y~2=1,x+y=1(x,y为正数),可设x=sina,y=cosa 或者x=sin~2a,y=cos~2a。例1 已知a~2+b~2=1,c~2+d~2=1,求证|2abd+(a~2-b~3)c|≤1 证明:因为 a~2+b~2=1,c~2+a~2=1,故可设=sina,则b=±cosa,又令C=sinβ,则d=±cosβ而有 |2abd+(a~2-b~2)c|=|2sina(±cosa)(±cosB)