一般的拟凸概念和非线性泛函的弱下半连续性

补偿紧致是近十年才发展起来的一种新概念,它的理论主要是研究非线性泛函的弱连续性和弱下半连续性。由于补偿紧致在非线性数学物理问题,特别是在非线性双曲型守恒律组的整体解理论中取得的成功,已引起了国内外许多数学家对它的兴趣。 我们知道,凸函数所对应的泛函是弱下半连续的。在变分情形,Morrey证明了他引入的函数拟凸概念与相应泛函的弱下半连续性是等价的。这是变分学中一个重要而有用的定理。因而,推广函数的凸性概念,并在一般非变分情形讨论它与相应泛函的弱下半连续性的关系,这是补偿紧致理论中一个自然而有意义的问题。在这方面,B.Dacorogna,N.Meyers和P.Marcellini都有过一些工作。B.Dacorogna还将其结果收入了[2]中。我们在此提出一个似乎更为自然的凸性概念,并讨论了它与弱下半连续性的相互关系,得到较一般的结果。这些结果推广了Morrey的定理,而充分条件蕴含了B.Dacorogna的相应结果为其恃款,顺便提及。[2]中必要条件是不成立的,我们已在[10]中指出。