两组三角形不等式的代数“背景”

劳格、杨之先生在《初等数学研究问题三议》(《中等数学》1991年第1期)中指出:关于不等式的研究,无论几何不等式,还是代数不等式,令人目不暇接:面对千姿百态的不等式,不少人开始向“综合”方面探索,如寻求代数与几何不等式的内在联系,寻求“母不等式”,寻求不等式赖以产生的通用方法等等,尽管目前“综合”的前景还不明确,但已激起了广大初数爱好者的热情和兴趣,我们发现: (一) Weisnbock不等式: a~2+b~2+c~2≥3~(1/4)△ (1)和Finslev——Hadwiger不等式:     

设而不解,直奔问题终点

求曲线的交点坐标是解析几何中一类广泛而繁琐的问题。但曲线的交点坐标在题目中常常只作为其他量的铺垫——过渡点,此时往往可通过“设而不解”的手法,绕过“求交点”这一迂道,直奔问题的终点。例1 推导点到直线的距离公式。求点P(x_0,y_0)到直线l:AX+By+C=O(A~2+B~2≠0)的距离d。(课本P49) 本题最自然的思路是:先求出点P在直线l上的射影点Q的坐标,再用距离公式d=|pQ|但求点Q的坐     

用“变更命题法”解“至少存在”的问题

有关“至少存在问题”,一般都用反证法证明。这里,我们介绍一种直接证法——变更命题法。这种证法思路灵活,解法简捷。下面从三个方面来举例说明。一、变更为等价命题变更的目的,首先是使问题明朗化,从而便于寻求解题途径或者简化解题过程。例1 若下列三个方程中至少有一个方程有实数解,求实数a的范围。x~2+4ax-4a+3=0,x~2+(a-1)x+a~2=0,x~2+2ax-2a=0。变更:由于“三个二次方程中至少有一个