带有Neumann边界条件的$k$维Minkowski平均曲率系统解的存在性

我们运用扰动方法证明了带有Minkowski平均算子非局部Neumann系统$$\begin{aligned}\begin{cases}\Big(r^{N-1}\frac{u''}{\sqrt{1-u''^{2}}}\Big)''=r^{N-1}f(r, u),\\\ r\in(0, 1),\ \ \ u''(0)=0,\ \ \ u''(1)=\int_{0}^{1}u''(s)dg(s)\\\end{cases}\end{aligned}$$解的存在性, 其中$k, N\geq1$是整数, $f=(f_{1},f_{2},\ldots,f_{k}):[0, 1]\times\mathbb{R}^{k}\rightarrow\mathbb{R}^{k}$连续且$g:[0, 1]\rightarrow\mathbb{R}^{k}$是有界变差函数.     

无限区间上二阶离散问题的正解

在本文中,通过运用离散的Arzel\''{a}-Ascoli引理和锥上的不动点定理,我们讨论了无限区间上二阶离散Sturm-Liouville边值问题$$\left\{\begin{array}{l}\Delta^{2}u(x-1)=f(x,u(x),\Delta u(x-1)),~~x\in\mathbb{N},\\ u(0)-a\Delta u(0)=B,~~\Delta u(\infty)=C\end{array}\right.$$ 正解的存在性,其中$\Delta u(x)=u(x+1)-u(x)$是前向差分算子,$\mathbb{N}=\{1,2,\ldots,\infty\}$且$f:\mathbb{N}\times\mathbb{R_{+}}\times\mathbb{R_{+}}\to\mathbb{R_{+}}$连续,$a>0, B, C$ 为非负实数,$\mathbb{R_{+}}=[0,+\infty)$, $\Delta u(\infty)=\lim_{x\rightarrow\infty}\Delta u(x)$.