Influence of the mass distribution on the stability behaviour of certain nonconservative systems of rods

This paper investigates the influence of the mass distribution on the stability behaviour of pinned-pinned and clamped-clamped rods, subjected to a nonconservative, constant distribution of follower forces. It shows that divergence buckling loads do always exist, are independent of the particular mass distribution and determine the stability behaviour for positive loads. For negative follower forces however, the systems are either stable or show instability due to flutter. Both cases can be obtained by a suitable choice of the mass distribution. Furthermore, the paper gives bounds for the divergence buckling loads and the flutter loads.

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Zusammenfassung Die Autoren untersuchen den Einfluss der Massenverteilung auf das Stabilitätsverhalten von beidseitig gelenkig gelagerten und beidseitig eingespannten elastischen Stäben, die einer gleichmässig verteilten, nichtkonservativen, mitgehenden Last unterworfen sind. Es zeigt sich, dass in allen Fällen Knicklasten vorhanden sind, die sich durch Divergenz ergeben, die von der besonderen Massenverteilung unabhängig sind und die im Bereich positiver Lasten für das Stabilitätsverhalten massgeblich sind. Für negative mitgehende Lasten sind die Systeme jedoch entweder stabil oder sie werden durch Flattern instabil. Beide diese Fälle können durch eine geeignete Wahl der Massenverteilung verwirklicht werden. Schliesslich enthält die Arbeit Schranken für die Divergenz-Knicklasten und für die Lasten, die zum Flattern führen.

     

Dynamic response of elastic rods subjected to uniformly distributed,tangential follower forces

Summary This paper treats the solution of separable non-selfadjoint initial-boundary-value problems using Green's function approach. Specifically, the dynamic response of an isotropic, homogeneous and linearly elastic clamped-free rod when perturbed by a time varying driving force and under constant uniformly distributed tangential follower forces is determined.

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Das dynamische Verhalten eines elastischen Stabes unter gleichmäßig verteilten, tangential mitgehenden Kräften

Übersicht In dieser Arbeit wird die separable Lösung nicht-selbstadjungierter Anfangs-Randwertprobleme mittels Anwendung der Greenschen Funktion behandelt. Insbesondere wird das dynamische Verhalten eines isotropen, homogenen und linear elastischen Stabes betrachtet, der unten eingespannt, oben frei ist und der einer zeitlich veränderlichen Erregerkraft sowie konstanten, tangential mitgehenden Kräften unterworfen worden ist.

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To the best knowledge of the first author this paper represents the last of numerous scientific contributions made by Professor Leipholz prior to his unexpected death on March 22, 1988     

Über die Anwendung von Liapunovs direkter Methode auf Stabilitätsprobleme kontinuierlicher,nichtkonservativer Systeme

Übersicht Es wird gezeigt, daß das klassische Energiekriterium für die Stabilität eines kontinuierlichen zweidimensionalen Systems eine eingeschränkte Aussagekraft hat, da es die Kleinheit der interessierenden Größen meist im quadratischen Mittel sichert. Ferner ergibt es sich, daß das klassische Energiekriterium für gewisse nichtkonservative Probleme, bei denen mitgehende Lasten vorkommen, hinreichend bleibt. Für diese nichtkonservativen Probleme ist die Stabilität unter tangential mitgehenden Lasten zudem größer als sie es bei denselben Problemen unter konservativen, richtungstreuen Lasten ist.

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Summary It is shown that the classical energy criterion for the stability of a continuous two-dimensional system is of a restricted value, since mostly the smallness in the mean-square of deflection and its derivatives can be guaranteed. Furthermore it results that the classical energy criterion for stability remains sufficient for certain nonconservative problems with follower forces. Besides, such nonconservative systems, subject to tangential forces, prove to be more stable as the same systems subject to conservative, unidirectional forces.

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Herrn Professor Dr. H. Ziegler in tiefer Verehrung zum 60. Geburtstag gewidmet.

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Die Arbeit wurde vom National Research Council of Canada unter Grant No. A 7297 unterstützt.     

On conservative elastic systems of the first and second kind

Summary In introducing the definition of a generalized kind of selfadjointness, it can be shown that there are truly nonconservative systems in the classical sense which in the light of a generalized concept are, however, conservative systems of the second kind. Systems like these buckle by divergence, do possess a generalized conservation theorem, and a generalized Rayleigh's quotient. Examples of such systems are given: the pinnedpinned rod, the rod with sliding ends, and the simply supported plate, all of them subjected to compressive follower forces. An example involving a complex differential equation is also treated: Greenhill's problem of the torsion of a pinned-pinned shaft.

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Übersicht Durch Einführen eines verallgemeinerten Begriffs der Selbstadjungiertheit kann gezeigt werden, daß Systeme, die im klassischen Sinne nichtkonservativ sind, bei Zugrundelegen des neuen Begriffs als konservative Systeme zweiter Art aufgefaßt werden können. Für Systeme dieser Art gilt ein verallgemeinerter Erhaltungssatz und es existiert ein verallgemeinerter Rayleigh-Quotient. Einige Beispiele für derartige Systeme werden betrachtet: der beidseitig gelenkig gelagerte Balken, der Balken mit gleitenden Enden und die einfach gelagerte Platte — sofern die Belastung in allen drei Fällen durch mitgehende Druckkräfte geschieht. Es wird außerdem das Greenhillsche Problem des gelenkig gelagerten Stabes mit Torsion untersucht, wobei eine komplexe Differentialgleichung erhalten wird.

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The support of the National Research Council of Canada under Grant A7297 is gratefully acknowledged.     

Über die Befreiung der Ansatzfunktionen des Ritzschen und Galerkinschen Verfahrens von den Randbedingungen

Übersicht In dieser Arbeit wird versucht zu zeigen, daß es durch Verallgemeinerung und Erweiterung der klassischenRitzschen undGalerkinschen Gleichungen nicht nur möglich ist, diese beiden Näherungsverfahren sowohl für selbst- als auch für nicht-selbstadjungierte Probleme anzuwenden, sondern daß auch die Anforderungen an die Ansatzfunktionen hinsichtlich der Erfüllung von Randbedingungen soweit gemildert werden können, daß die dynamischen und unter Umständen sogar die geometrischen Randbedingungen verletzt werden dürfen. Letzteres gilt auch für dasGalerkinsche Verfahren.

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Summary In this paper the classicalRitz andGalerkin equations are generalized and extended in such a way that both approximation methods are applicable to self-adjoint and to non-self-adjoint problems. The conditions to be fulfilled by the coordinate functions are weakened; the coordinate functions need not satisfy the dynamical boundary conditions, and under certain circumstances not even the geometrical ones. The latter remark applies to theGalerkin method as well.

     

Über den Einfluß der Dämpfung bei nichtkonservativen Stabilitätsproblemen elastischer Stäbe

Ohne Zusammenfassung