The effects of material nonlinearity and compressibility in the buckling of nonlinear elastic systems

Summary The stability and post-buckling response of simple perfect and imperfect systems made of nonlinear elastic material are thoroughly discussed. The perfect systems correspond to the three types of bifurcation points, i.e. stable symmetric, unstable symmetric and asymmetric. Material-dependent stability conditions are properly established. It is found that the mechanism of buckling of perfect systems associated with a stable symmetric bifurcation point may become unstable depending on the value of the material nonlinearity parameter. Moreover, it is established that the effect of compressibility on the buckling load may be considerable in case of imperfect systems which in their ideal state are associated with an asymmetric bifurcation point.

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Die effekte von nichtlinearem stoffverhalten und kompressibilität beim knicken elastischer systeme

Übersicht Diskutiert wird die Stabilität und das Nachknickverhalten einfacher nichtlinear-elastischer Systeme mit und ohne Imperfektionen. Die perfekten Systeme gehören zu den drei Arten von Verzweigungspunkten, nämlich stabile und instabile symmetrische sowie unsymmetrische Verzweigung. Theoretisch strenge, materialabhängige Stabilitätsbedingungen werden eingeführt. Es zeigt sich, daß der Knickmechanismus eines perfekten Systems, der mit einer stabilen symmetrischen Verzweigung verknüpft ist, möglicherweise in Abhängigkeit von der Nichtlinearität des Stoffverhaltens instabil wird. Darüber hinaus stellt man fest, daß der Einfluß der Kompressibilität auf die Knicklast erheblich sein kann bei Systemen mit Imperfektion, die im perfekten Zustand eine einsymmetrische Verzweigung zeigen.

     

Lateral post-buckling analysis of beams

Summary The nonlinear lateral buckling response of perfect stocky beams in the vicinity of the critical bifurcational state is discussed. Attention is focused on the initial post-buckling response. This depends on the nature of the critical branching point which is explored by using a nonlinear (lateral) bending-curvature relationship. It is found that the plane of loading (associated with the major moment of inertia) looses its stability through a stable symmetric bifurcation point. Hence, the above beams are not sensitive to imperfections, exhibiting post-buckling strength. However, the post-buckling equilibrium path is quite shallow, so that the load-carrying capacity of such beams above the critical state is rather limited. The analysis is supplemented by illustrative examples forI-beams for which the effect of various parameters on the initial postbuckling path is also discussed.

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Analyse des lateralen nachkritischen Knickverhaltens von Balken

Übersicht Das nichtlineare Knickverhalten von perfekten gedrungenen Balken in der Nachbarschaft des kritischen Verzweigungspunktes wird untersucht, wobei sich die Aufmerksamkeit insbesondere auf den Beginn der nachkritischen Phase richtet. Diese hängt vom Charakter des kritischen Verzweigungspunktes ab, der seinerseits mit Hilfe einer nichtlinearen (lateralen) Biegemoment-und Krümmungs-Beziehung analysiert wird. Es zeigt sich, daß die Stabilität in der Belastungsebene-verbunden mit dem maximalen Flächenmoment zweiter Ordnung-über einen stabilen symmetrischen Verzweigungspunkt verlorengeht. Daher sind solche Balken unempfindlch gegenüber Imperfektionen, sie zeigen nachkritische Belastbarkeit. Der nachkritische Gleichgewichtspfad ist jedoch sehr flach, so daß die Tragfähigkeit dieser Balken oberhalb des kritischen Zustandes recht begrenzt ist. Die Untersuchung ist durch illustrative Beispiele für I-Balken untermauert, für welche der Einfluß der verschiedenen Parameter auf den anfänglichen nachkritischen Pfad herausgearbeitet wird.

     

On the large postbuckling response of nonconservative continuous systems

Summary The large postbuckling response of a uniform cantilever beam subjected to a partial follower compressive load of constant magnitude is presented. The range of values of the nonconservativeness loading parameter for which a divergence instability occurs is theoretically established. The boundary between divergence and flutter instability corresponds to a double critical point where the first and second buckling loads (eigenvalues) coincide. It was also theoretically established that the critical points corresponding to these loads are stable symmetric. Except of the double critical point, the buckling loads of the first and second eigenmodes are distinct for the entire region of the nonconservativeness loading parameter. However, this is not true for the corresponding postbuckling paths. Indeed using an elastica analysis suitable for rotations up to 360°, it was found that at a certain critical tip rotation depending on the value of the nonconservativeness parameter the first and second postbuckling modes meet each other asymptotically. Numerical results have been obtained using various approximate analytic techniques which are checked by the method of elliptic integrals as well as the numerical schemes of Adams and Runge-Kutta.

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Groß Nachbeulantworten nichtkonservativer kontinuierlicher Systeme

Übersicht Vorgestellt wird das große Nachbeulverhalten eines gleichförmigen Auslegers unter einer teilweise folgenden Drucklast konstanter Größe. Der Bereich des Lastparameters der Nichtkonservativität, für den Verzweigungsinstabilität auftritt, wird theoretisch ermittelt. Die Grenze zwischen Verzweigung und Flattern entspricht einem zweifachen kritischen Punkt, in dem die erste und zweite Beullast zusammenfallen. Ebenfalls theoretisch wird gezeigt, daß die kritischen Punkte zu diesen Lasten stabil symmetrisch sind. Mit Ausnahme des zweifachen kritischen Punktes sind die Beullasten der ersten und zweiten Eigenform im ganzen Bereich des Parameters der Nichtkonservativität verschieden. Dies gilt nicht für die zugehörigen Nachbeulpfade. Vielmehr zeigt eine für große Drehungen bis 360° gültige Analyse der Biegelinie, daß bei einer bestimmten kritischen Stabenddrehung, die vom Parameter der Nichtkonservativität abhängt, erste und zweite Eigenform sich asymptotisch angleichen. Numerische Ergebnisse werden nach verschiedenen analytischen Näherungsmethoden gewonnen und mit der Methode der elliptischen Integrale sowie den numerischen Methoden nach Runge-Kutta bzw. Adams verglichen.

     

On the nonlinear dynamic buckling mechanism of autonomous dissipative/nondissipative discrete structural systems

Summary Nonlinear dynamic buckling of nonlinearly elastic dissipative/nondissipative multi-mass systems, mainly under step load of infinite duration, is studied in detail. These systems, under the same loading applied statically, experience a limit point instability. The analysis can be readily extended to the case of dynamic buckling under impact loading. Energy, topological and geometrical aspects for the total potential energyV, which is constrained to lie in a region of phase-space whereV0, allow conclusions to be drawn directly regarding dynamic buckling. Criteria leading to very good, approximate and lower/upper bound dynamic buckling estimates are readily established without solving the highly nonlinear set of equations of motion. The theory is illustrated with several analyses of a two-degree-of-freedom model.     

Dynamic Buckling of Autonomous Systems Having Potential Energy Universal Unfoldings of Cuspoid Catastrophe

This work deals with dynamic buckling universal solutions of discrete nondissipative systems under step loading of infinite duration. Attention is focused on total potential energy functions associated with universal unfoldings of cuspoid type catastrophes with one active coordinate. The fold, dual cusp and tilted cusp catastrophes under statically applied loading occurring via limit points, asymmetric/symmetric bifurcations and nondegenerate hysteresis points are extended to the case of dynamic loading. Catastrophe manifolds of these types showing imperfection sensitivity under both types of loading are fully assessed. Important findings regarding dynamic buckling of imperfect systems generated by perfect systems associated with imperfect bifurcations are explored. The analysis is supplemented by a numerical application of a system exhibiting imperfect bifurcation when it is perfect as well as a hysteresis point associated with a tilted cusp catastrophe, when it becomes imperfect.     

The Effects of Initial Curvature and Other Parameters on the Nonlinear Buckling of Simple Frames*

In this investigation a nonlinear variational analysis is performed on a simple two-bar frame with initially crooked bars that is subjected to an eccentrically applied load at its joint. The influence of crookedness may be detrimental or beneficial, depending on the manner of design of the frame. It is also found that for some critical value of crookedness, the frame does not buckle elastically. Moreover, it is shown that for some characteristic values of the length ratio and moment of inertia ratio of the two bars, the load-carrying capacity of the frame becomes maximum. Finally, the combined effect of the aforementioned parameters is discussed     

On the Parametric Resonance of Columns Carrying Concentrated Masses

Abstract

The effect of various parameters upon the region of dynamic instability of a uniform simply supported column carrying n concentrated masses and subjected to an axial periodic force at one end is presented. The effect of axial inertia of the mass per unit length of the column is also included. This problem is reduced to a coupled system of two homogeneous partial differential equations of second order with periodic coefficients which can be written in the form of a matric differential equation of the Mathieu-Hill type. A solution methodology is developed and successfully demonstrated through numerical examples.