A new explicit solution method for the diffraction through a slit – Part 2

In the paper [N. Gorenflo, A new explicit solution method for the diffraction through a slit, ZAMP 53 (2002), 877–886] the problem of diffraction through a slit in a screen has been considered for arbitrary Dirichlet data, prescribed in the slit, and under the assumption that the normal derivative of the diffracted wave vanishes on the screen itself. For this problem certain functions with the following properties have been constructed: Each function f is defined on the whole of R and on the screen the values f(x), |x|  ≥  1, are the Dirichlet data of the diffracted wave which takes on the Dirichlet data f(x), |x|  ≤  1, in the slit. The problem of expanding arbitrary Dirichlet data, prescribed in the slit, into a series of functions of the considered form has been addressed, but not solved in a satisfactory way (only the application of the Gram-Schmidt orthogonalization process to such functions has been proposed). In this continuation of the aforementioned paper we choose the remaining degrees of freedom in the earlier given representations of such functions in a certain way. The resulting concrete functions can be expressed by Hankel functions and explicitly given coefficients. We suggest the expansion of arbitrary Dirichlet data, prescribed in the slit, into a series of these functions, here the expansion coefficients can be expressed explicitly by certain moments of the expanded data. Using this expansion, the diffracted wave can be expressed in an explicit form. In the future it should be examined whether similar techniques as those which are presented in the present paper can be used to solve other canonical diffraction problems, inclusively vectorial diffraction problems.     

Zum Wärmeübergang beim Blasensieden von Kohlenwasserstoffen und Halogen-Kältemitteln an einem Glattrohr und einem Hochleistungs-Rippenrohr

Zusammenfassung Mit einem Glattrohr und einem Hochleistungs-Rippenrohr aus Kupfer wurde der Wärmeübergang beim Blasensieden von fünf Kohlenwasserstoffen und vier Halogenkältemitteln, darunter die zwei z.Zt. noch in Erprobung befindlichen Stoffe R134a und R227, in einem großen Bereich der Wärmestromdichte und des Siededruckes gemessen. Das Rippenrohr besitzt aus dem Vollen gewalzte Rippen, die nachträglich zum Teil wieder plattgewalzt wurden und am Grund der Rippenzwischenräume zusätzlich Kerben zur Verbesserung des Wärmeübergangs enthalten (Typ: GEWA-TX). Während sich der Einfluß der Wärmestromdichte, des Siededruckes und der Stoffeigenschaften auf den Wärmeübergangskoeffizienten beim Glattrohr für alle neun Stoffe in guter Näherung einheitlich darstellen läßt, sind die entsprechenden Zusammenhänge bei den Rippenrohren wegen der besonderen Form der Blasenbildung komplexer, als von herkömmlichen Rippenrohren bekannt ist. Im Vergleich zum Glattrohr verspricht dieses Rippenrohr besonders bei nicht zu hohen Siededrücken und beim Einsatz mit Kohlenwasserstoffen und den neuen Kältemitteln R134a und R227 Vorteile.

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Heat transfer with pool boiling of hydrocarbons and halogeneated refrigerants at a plain and a high performance finned tube

Heat transfer with pool boiling of five hydrocarbons and two halogenated refrigerants was measured for a plain and a high performance finned tube over an extended range of heat fluxes and saturation pressures. The finned tube with T-shaped cross sections of the fins contains additional cavities at the bottom of the channels between the fins to enhance heat transfer (type: GEWA-TX). For the plain tube, the influence of heat flux, saturation pressure and thermophysical properties of the boiling liquid can be represented in a rather uniform manner with all of the nine substances. In the case of the finned tube, the corresponding relations are more complex than is known from traditional finned tubes, because of the special form of bubble release with this tube. Compared to the plain tube, the finned tube investigated seems to be favourable when used for hydrocarbons and the new refrigerants, and for boiling conditions at comparatively low saturation pressures.

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Herrn Prof. Dr. K. Bier zum 65. Geburtstag gewidmet     

Zur Berechnung des Wärmeübergangs bei einphasiger freier Konvektion in der Nähe des kritischen Zustandes

Zusammenfassung Experimentelle Ergebnisse zum überkritischen Wärmeübergang weisen für den Zustandsbereich nahe dem kritischen Punkt zum Teil große Abweichungen von der für unterkritische Fluide bekannten Abhängigkeit des Wärmeübergangskoeffizienten von der Wärmestromdichte auf. Am Beispiel des Kältemittels RC318 (C₄F₈) wird gezeigt, daß auch diese Ergebnisse mit den bekannten Beziehungen zwischen der Nußelt-, der Grashof- und der Prandtl-Zahl beschrieben werden können, wenn der thermische Ausdehnungskoeffizient und die spezifische Wärme in Gr bzw. Pr durch Differenzenquotienten ersetzt und zwei zusätzliche Parameter zur Beschreibung der Dichteänderung innerhalb der beheizten Fluidzone eingeführt werden. Da ein Teil der in den Kennzahlen benötigten Stoffwerte von RC318 im interessierenden Zustandsbereich nicht bekannt ist, werden die fehlenden Stoffwerte mit Hilfe des allgemeinen Korrespondenzprinzips berechnet.

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Calculation of free convective heat transfer near the critical state

For certain conditions free convective heat transfer from horizontal tubes to fluids near the critical state differs widely from the well-known dependency of heat transfer coefficient from heat flux. It is shown that experiments with refrigerant RC318 (C₄F₈) even for these conditions can be described by one of the often applied relationships between Nusselt and Rayleigh numbers, if the special form of density variation within the heated region of the fluid is taken into account. Most of the thermophysical properties of RC318 being unknown near the critical state, thermodynamic similarity considerations are used to calculate these data.

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Formelzeichen F Korrekturfaktor - R individuelle Gaskonstante - T Temperatur - Z Realfaktor - Gr, Nu, Pr Kennzahlen - a Temperaturleitzahl - c_v, C_p spezifische Wärme - d Rohrdurchmesser - g Erdbeschleunigung - h spezifische Enthalpie - m Molekülmasse - p Druck - q Wärmestromdichte - u innere Energie - v spezifisches Volumen - Wärmeübergangskoeffizient - _k Riedel-Parameter - thermischer Ausdehnungskoeffizient - Realanteil - Differenz zwischen einer Zustandsgröße des Fluids an der Heizwand und außerhalb der beheizten Zone - Asymmetrieparameter - Viskosität, dynamische - Wärmeleitzahl - Viskosität, kinematische - Dichte Indizes-hochgestellt normierte Größe - * auf den Wert am kritischen Punkt normierte Größe - 0 im Zustand des idealen Gases Indizes-tiefgestellt B, + Bezugswert - f Fluid außerhalb der beheizten Zone - k am kritischen Punkt - W an der Wand Herrn Professor Dr.-Ing. H. Glaser, Stuttgart, zum 70. Geburtstag gewidmet.Die Autoren danken Herrn Prof. Dr. K. Bier für die unterstützung der Arbeit und für wertvolle Diskussionsbeiträge.     

Funktionentheoretische Bestimmung des Aussenfeldes zu einer zweidimensionalen magnetohydrostatischen Konfiguration

Summary Two-dimensional analogues of the torus-like Meyer-Schmidt plasma configurations without interior field are treated by functiontheoretical methods. If the boundary of the doubly connected plasma domain consists of two closed analytic curves, the structure of the exterior magnetic field and its singularities (which determine the currents) can be found by a combination of analytic continuation and conformal mapping. An example is discussed in detail. The problem is essentially equivalent to a problem in hydrodynamics: to find the structure of an incompressible irrotational flow in two dimensions which has a given closed analytic curve as a free streamline.

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Diese Arbeit wurde im Rahmen des Vertrags zwischen dem Institut für Plasmaphysik GmbH und der Europäischen Atomgemeinschaft über die Zusammenarbeit auf dem Gebiet der Plasmaphysik durchgeführt. Sie ist eine kondensierte Darstellung des Berichts [6]. Auf der Tagung der Gesellschaft für Angewandte Mathematik und Mechanik in Giessen (Deutschland) vom 8. bis 10. April 1964 wurde über ihren Inhalt ein Vortrag gehalten (man vergleiche [7]).     

Zum Einfluß der Oberflächenrauhigkeit und des Rohrdurchmessers beim Blasensieden an einzelnen Glatt- und Rippenrohren

Zusammenfassung Wärmeübergangsmessungen beim Blasensieden von Hexan an einem Glattrohr und einem Rippenrohr aus Stahl mit großem Durchmesser und großer, einheitlicher Oberflächenrauhigkeit zeigen, daß die Wärmeübergangskoeffizienten an der äußeren Rippenrohroberfläche bei hohen Wärmestromdichten größer sind als am Glattrohr und bei Annäherung an die freie Konvektion ohne Blasen allmählich auf die Glattrohrwerte abnehmen. Zusatzmessungen mit einem Glattrohr erheblich kleineren Durchmessers lassen den Schluß zu, daß die Variation des Rohrdurchmessers vor allem den Anstieg des Wärmeübergangskoeffizientenn mit der Wärmestromdichte verändert, die relative Druckabhängigkeit und die Absolutwerte von bei mittleren Wärmestromdichten dagegen weitgehend unbeeinflußt läßt.

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Influence of surface roughness and tube diameter on pool boiling at single plain and finned tubes

Heat transfer with pool boiling of hexane was measured for single plain and finned steel tubes with great diameter and very rough, sandblasted surface. The results show that the heat transfer coefficients calculated for the outer surfaces of both tubes are higher in the case of the finned tube at high heat fluxes, and gradually diminish down to the values of the plain tube until natural convection without bubble formation has been reached. Additional measurements using a plain tube with much smaller diameter but identical surface treatment indicate that great differences of the tube diameter influence the increase of the heat transfer coefficient with heat flux significantly, the relative pressure dependence and the absolute values of the heat transfer coefficient at intermediate heat fluxes, however, are concerned on a smaller scale.

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Herrn Prof. Dr.-Ing. K. Stephan zum 60. Geburtstag gewidmet     

Über die Zentralindices der Ableitungen einer ganzen transzendenten Funktion

Ohne Zusammenfassung     

Convergence of the Grünwald–Letnikov scheme for time-fractional diffusion

Using bivariate generating functions, we prove convergence of the Grünwald–Letnikov difference scheme for the fractional diffusion equation (in one space dimension) with and without central linear drift in the Fourier–Laplace domain as the space and time steps tend to zero in a well-scaled way. This implies convergence in distribution (weak convergence) of the discrete solution towards the probability of sojourn of a diffusing particle. The difference schemes allow also interpretation as discrete random walks. For fractional diffusion with central linear drift we show that in the Fourier–Laplace domain the limiting ordinary differential equation coincides with that for the solution of the corresponding diffusion equation.     

A new explicit solution method for the diffraction through a slit – Part 2

In the paper [N. Gorenflo, A new explicit solution method for the diffraction through a slit, ZAMP 53 (2002), 877–886] the problem of diffraction through a slit in a screen has been considered for arbitrary Dirichlet data, prescribed in the slit, and under the assumption that the normal derivative of the diffracted wave vanishes on the screen itself. For this problem certain functions with the following properties have been constructed: Each function f is defined on the whole of R and on the screen the values f(x), |x| ≥ 1, are the Dirichlet data of the diffracted wave which takes on the Dirichlet data f(x), |x| ≤ 1, in the slit. The problem of expanding arbitrary Dirichlet data, prescribed in the slit, into a series of functions of the considered form has been addressed, but not solved in a satisfactory way (only the application of the Gram-Schmidt orthogonalization process to such functions has been proposed). In this continuation of the aforementioned paper we choose the remaining degrees of freedom in the earlier given representations of such functions in a certain way. The resulting concrete functions can be expressed by Hankel functions and explicitly given coefficients. We suggest the expansion of arbitrary Dirichlet data, prescribed in the slit, into a series of these functions, here the expansion coefficients can be expressed explicitly by certain moments of the expanded data. Using this expansion, the diffracted wave can be expressed in an explicit form. In the future it should be examined whether similar techniques as those which are presented in the present paper can be used to solve other canonical diffraction problems, inclusively vectorial diffraction problems.